收获极大的一个错误

题目是这样的,对于任意整数A,B,C,D证明表达式:

(A-B)(A-C)(A-D)(B-C)(B-D)(C-D)

的值可以被12整除.

我的思路是对的,4个整数被3除那么至少有2个数的余数是相同的.那么这2个数相减的差就

可以被3整除,这样在表达式中就可以找到3的因子.如法炮制,可以证明表达式中还存在2个2

的因子.从而整个表达式可以被12整除.

虽然思路是对的,但是查找因子的具体的方法错了.对于证明3的因子存在,我只是认为找出包

含4个数的表达式即可以了.比如,如下表达式我就认为存在3的因子:

(A-B)(A-C)(A-D)

因为其中包含了全部的4个不同的数,但是很遗憾这是错的.只有在不同的4个数有2,2相减的

因子存在时,那可以保证表达式中有3的因子的存在.比如:

A = 10, B = 2, C = 5, D = 6

这样(A-B)(A-C)(A-D)就不存在3的因子.但是4个数2,2相减乘积的表达式

(A-B)(A-C)(A-D)(B-C)(B-D)(C-D)

就可以保证存在3的因子.

当发现了这个错误后,立刻更正并试图找出正确的证明,但是很遗憾要找2个2的因子已经不可
能了.苦苦思考了许久终于放弃,看了一下正确答案,结果不是找2个2的因子,而是找一个4的
因子.证明很简单还是再次使用鸽巢原理.假设4个数被4除后存在相同的余数,那么2,2相减乘
积的表达式中就存在4的因子了,这个容易.关键是下一步,就是不存在相同的余数怎么办.那么
这4个余数分别是0,1,2,3并且4个数各取其一.不是一般性可以假设A,B,C,D对应这4个余数.
那么(A - C)(B - D)就包含了2个的因子.这样原命题得证.

在这个题目中犯下的错误以及看了答案之后得到收获非常之大,体会很深,对我的启发以及今
后的实际应用有极大的帮助.