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初识分治法，动态规划——中位数,Gray码与零钱问题

算法F#J#CC++ 
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通过学习“算法设计与分析”课程，我想对于那些经典的算法，除了在理论上“认识”他们外，最主要是在思想上学会他们，接受他们，这样不知不觉地培养了我们一种严密的思维能力，并且运用所学知识结合具体问题设计适用的算法的能力。而且那些经典算法也有很多复杂的应用领域，但是对于没有涉足这方面的人来说，由“认识”他们再上升到算法思想上的掌握也是很有必要的。

下面介绍的几个应用例子都是相对来说不是很难的，主要是先有一种感性的认识。
  • 有关分治法思想
分而治之方法与软件设计的模块化方法非常相似。为了解决一个大的问题，可以： 1) 把它分成两个或多个更小的问题;
2) 分别解决每个小问题;
3) 把各小问题的解答组合起来，即可得到原问题的解答。
小问题通常与原问题相似，可以递归地使用分而治之策略来解决。
中位数问题
问题的提出
对于两个长度均为n的已排序的序列,确定这两个序列的2n个元素的中位数
解决此问题的算法思想
设两个长度为n的数列分别为x[ 0 : n -1]和y[ 0 : n -1],分别找出这两个数列的中位数x[i]和
y[ j ],二者进行比较,根据比较结果可以在每个数列中减少一半的搜索范围,然后再分别取
两个子数列的中位数再比较,再减少搜索范围,继续下去直到找到最后结果
求解过程
查找范围确定：
  • 当n为奇数时，令n=2m +1，则两个数列的中位数分别为x[ m ]和 y[ m ]，则：
    x[0:m-1]<x[m]<x[m+1:2m]    和
    y[0:m-1]<y[m]<y[m+1:2m]
    若 x[m]<y[m]
    若整体中位数x[k]在x[0:m-1]中，则
    x[k]<x[m]<x[m+1:2m]且 x[k]<y[m]<y[m+1:2m]
    则x[k]至少小于2m+2即n+1个数，而整体的中位数应该是第n个数，它小于n个数，所以整体中位数不在x的前半部分，同样不会在y的后半部分。
    　x[m]至少小于n个数，y[m]至少大于n个数，所以这两个局部中位数都有可能成为整体中位数．　　　　
    　所以再次查找范围为x[m:2m]和y[0:m]
  • 当n为偶数时，令n=2m ，则两个数列的中位数分别为x[ m-1 ]和 y[ m-1 ]，则：
    x[0:m-2]<x[m-1]<x[m:2m-1]    和
    y[0:m-2]<y[m-1]<y[m:2m-1]
    若 x[m-1]<y[m-1]
    若整体中位数x[k]在x[0:m-2]中，则
    x[k]<x[m-1]<x[m:2m-1]且 x[k]<y[m-1]<y[m:2m-1]
    则x[k]至少小于2m+１即n+1个数，而整体的中位数应该是第n个数，它小于n个数，所以整体中位数不在x的前半部分，同样不会在y的后半部分。
    　x[m-1]至少小于n+1个数，所以其不会成为整体中位数，y[m-1]至少大于n-1个数，所以它有可能成为整体中位数
    　所以再次查找范围为x[m:2m-1]和y[0:m-2]
举个例子：
x={10, 15, 16, 19, 24}
y={11, 17, 18, 20, 23}
x1={16, 19, 24} y1= {11, 17, 18 }
x2={16,19} y2={17,18}
x2={19} y2={17} ————出口，应单独处理
x={10, 15, 16, 19}
y={11, 17, 18, 20}
x1={16, 19} y1= {11, 17}
x2={16} y2={17}
mid=16
数据输入
由文件input.txt提供输入数据。文件的第1行中有1个正整数n（n<=200），表示每个数组有n个数。接下来的两行分别是X，Y数组的元素。
输入文件示例
输出文件示例
input.txt
output.txt
3
5 15 18
3 14 21
14
C++实现：
#include<iostream>
#include<fstream>
usingnamespacestd;

intfindMedian(int*,int*,int);

intmain()
...{
ifstreamin("in.txt");
ofstreamout("d://out.txt");

intn;
int*x,*y;

in>>n;
x=newint[n];
y=newint[n];

for(inti=0;i<n;i++)
in>>x[i];
for(i=0;i<n;i++)
in>>y[i];

intmedian=findMedian(x,y,n);

cout<<median<<endl;

out<<median;

in.close();
out.close();

return1;
}

intfindMedian(int*x,int*y,intn)
...{
if(n==1)
return*x<=*y?*x:*y;

intm=(n-1)/2;//中位数位置
intp=m+1;//中位数小者子数字起始位置

if(n%2!=0)//n为奇数
p--;

if(*(x+m)==*(y+m))
return*(x+m);
elseif(*(x+m)(y+<*m))
returnfindMedian(x+p,y,m+1);
else
returnfindMedian(x,y+p,m+1);
}
Gray码问题
Gray码是一个长度为2n的序列。序列中无相同的元素，每个 元素长度都为n位的串，相邻元素恰好之有一位不同，对任意的n位如何构造相应的Gray码。
对于n=4的Gray码，如下图所。
上图 第1列从最左边算起
实现这个问题的方法是，递归上半部分，下半部分对称复制上半分部即可
由文件input.txt提供输入数据n。
用C++ 实现：
#include<iostream>
#include<fstream>
#include<stdio.h>
#include<math.h>

usingnamespacestd;

voidGraycode(inta,intb,int**arr)
...{
//递归出口
if(a==1)
return;
//处理当前列
for(inti=0;i<a/2;i++)
...{
arr[i][b-1]=0;//上半部分赋值为0
arr[a-i-1][b-1]=1;//下半部分赋值为1
}

//处理子问题
Graycode(a/2,b-1,arr);//递归调用子问题，生成列数为b-1的Gray码，填写高半部分

for(intk=a/2;k<a;k++)//将(n-1)位的Gray码逆序后，填入目标码字/的低半部分
for(intj=0;j<b-1;j++)
arr[k][j]=arr[a-k-1][j];


}

intmain()
...{

intn;
ifstreamin("in.txt");
ofstreamout("d://out.txt");
in>>n;
introw=pow(2,n);
int**arr=newint*[row];
for(intm=0;m<row;m++)...{
arr[m]=newint[n];
}
Graycode(row,n,arr);
for(inti=0;i<row;i++)
...{
for(intj=0;j<n;j++)
cout<<arr[i][j];
cout<<endl;
}
in.close();
out.close();
return1;
}
  • 有关动态规划的思想
零钱问题

设有n种不同面值的硬币，各硬币的面值存于数组T[1:n]中。现要用这些面值的硬币来找钱，可以实用的各种面值的硬币个数不限。当只用硬币面值T[1],T[2],…,T[i]时，可找出钱数j的最少硬币个数记为C(i,j)。若只用这些硬币面值，找不出钱数j时，记C(i,j)=∞：<shapetype id="_x0000_t75" stroked="f" filled="f" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" o:preferrelative="t" o:spt="75" coordsize="21600,21600"></shapetype><shape id="_x0000_i1025" style="WIDTH: 415.5pt; HEIGHT: 231pt" type="#_x0000_t75"><imagedata src="file:///E:%5CDOCUME~1%5CADMINI~1%5CLOCALS~1%5CTemp%5Cmsohtml1%5C08%5Cclip_image001.jpg" o:title="666"></imagedata></shape>

<stroke joinstyle="miter"></stroke><formulas><f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></f><f eqn="sum @0 1 0"></f><f eqn="sum 0 0 @1"></f><f eqn="prod @2 1 2"></f><f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></f><f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></f><f eqn="sum @0 0 1"></f><f eqn="prod @6 1 2"></f><f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></f><f eqn="sum @8 21600 0"></f><f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></f><f eqn="sum @10 21600 0"></f></formulas><lock aspectratio="t" v:ext="edit"></lock>

« 数据输入

由文件input.txt提供输入数据。文件的第1行中有1个正整数n（n<=13），表示有n种硬币可选。接下来的一行是每种硬币的面值。由用户输入待找钱数j。

使用C++语言实现

#include<fstream>
#include<iostream>
#include<algorithm>

usingnamespacestd;

intchangeCoins(int*T,intn,intv);

intmain()
...{
ifstreamin("in.txt");
ofstreamout("d://out.txt");

intn;
intv;

in>>n;
int*T=newint[n];
for(inti=0;i<n;i++)
...{
in>>T[i];
}

in>>v;

intresult=changeCoins(T,n,v);

cout<<result<<endl;

out<<result;

in.close();
out.close();

return1;
}


intchangeCoins(int*T,intn,intv)
...{
//先对3个硬币按面值进行排序
sort(T,T+n);
int**c=newint*[n];
for(intm=0;m<n;m++)...{
c[m]=newint[v+1];
}
//初始化第一行,只有一个硬币时的情况
for(inti=0;i<=v;i++)
if(i%T[0]==0)
c[0][i]=i/T[0];
else
c[0][i]=INT_MAX;
//从第二行开始
for(intj=1;j<n;j++)
for(intk=0;k<=v;k++)
//新加进来的硬币大于要找的钱，用不到这个硬币，所以还是跟上一行的一样
if(k<T[j])
c[j][k]=c[j-1][k];
else
c[j][k]=color:
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