一个周六的上午

 

 
           了解康德哲学，从他的数学哲学开始，了解他的数学哲学，从他的直觉主义开始，但本文大意与直觉主义无直接联系，更与康德哲学无直接联系，要想了解，是一个大工程。

          于是，泡了一上午的图书馆，找来康德原著《纯粹理性批判》和包向飞的《康德的数学哲学》，读康德这种哲学大师的书籍，非一字一句仔细推敲不可，但想着不作深入研究，泛泛而读就可。我很喜欢的其中一种观点，讨论直觉主义在数学领域有个很深刻的问题，“对数学的精确性到底存在于哪里？”直觉主义的回答是“存在于人类心智之中”，而与之相对形式主义的回答是“存在于纸面上”。有个例子可以对这个问题做很好的说明———排中律，言“p∨﹁p为真，如果说p必须是要么为真要么为假”。在经典逻辑中，排中律是毫无争论正确的，举个例子，p：小胡是一个男人，那命题p∨﹁p（小胡是一个男人 或者 小胡不是一个男人）无论什么时候都是真。但在直觉主义中，我们却不能这样简单断言，在没有清楚的建构情况下，不可以无条件运用排中律。也可以举个例子，如果我们这样定义一个数n，当在π的无限展开式中连续出现20个7时，那么这个数等于1，如果不出现这样的序列，则这个数等于0，现在考虑这样一个命题：n=1或者n≠1。按照经典逻辑，这个命题显然为真，因为可以从排中律马上得到。但对于直觉主义来讲，为了确定该命题为真，我们需要证明在π的展开式中有20个7以断言n=1，或者证明不存在这样的序列以断言n≠1。如果我们不能证明其中任何一个，就不能断言命题“n=1或者n≠1”必真。正如好友X（同级生，逻辑狂）曾和我说过“排中律的定义，你要么相信排中律，要么不相信排中律”，理解得很到位。

          其实，今天上午的主题还不是【排中律】，而是【布劳威尔不动点定理】。联系是布劳威尔，阿伦特海廷，外尔是直觉主义哲学的三位大师。而【布劳威尔不动点定理】便是其代表作。一句话定义不动点定理就是，对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数f，存在X。，f（X。）=X。。下面是具体阐述

         

          平面上理解

          每一个从某个给定的闭圆盘{（x，y）| x^2+y^2≤R^2}射到他自身的连续函数f都有（至少）一个不动点

      

          拓展到任意有限维

          欧几里得空间中，每一个从给定的闭球射到他自己的连续函数f都有（至少）一个不动点

 

          形象化描述

          二维下      取两张一样大小的白纸，在上面画好垂直的坐标系以及纵横的方格。将一张纸（乙）平铺在桌面，而另外一张（甲）随意揉成一个形状（但不能撕裂），放在乙之上，不超出乙的边界。

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            此时纸甲上一定有一格点正好就在纸乙的对应格点的正上方。

            一个更简单的说法是：将一张白纸平铺在桌面上，再将它揉成一团（不撕裂），放在原来白纸所在的地方，那么只要它不超出原来白纸平铺时的边界，那么白纸上一定有一点在水平方向上没有移动过。解释是把纸揉皱而不能撕裂是一个连续的变换过程。

           另一个好玩的例子

           大商场等平面地图，上标有“您在此处”的红点，如果标注足够精准，该点就是把实际地图射到平面地图的连续函数的不动点，图示如下

                       

                     
                  
 

 

              参考来源：

              《康德的数学哲学》包向飞  武汉大学出版社

                万能的wikipedia

 

 

 

 

 

 

 

 

 

         

评论

1 楼 戈登哥 2013-11-30  

今天一上来 发现全都是高深的玩意.