图的练习题（有解答）

1. 填空题
⑴ 设无向图G中顶点数为n，则图G至少有（ ）条边，至多有（ ）条边；若G为有向图，则至少有（ ）条边，至多有（）条边。
【解答】0，n(n-1)/2，0，n(n-1)
【分析】图的顶点集合是有穷非空的，而边集可以是空集；边数达到最多的图称为完全图，在完全图中，任意两个顶点之间都存在边。

⑵ 任何连通图的连通分量只有一个，即是（ ）。
【解答】其自身

⑶ 图的存储结构主要有两种，分别是（ ）和（ ）。
【解答】邻接矩阵，邻接表
【分析】这是最常用的两种存储结构，此外，还有十字链表、邻接多重表、边集数组等。

⑷ 已知无向图G的顶点数为n，边数为e，其邻接表表示的空间复杂度为（ ）。
【解答】Ｏ(n+e)
【分析】在无向图的邻接表中，顶点表有n个结点，边表有2e个结点，共有n+2e个结点，其空间复杂度为Ｏ(n+2e)=Ｏ(n+e)。

⑸ 已知一个有向图的邻接矩阵表示，计算第j个顶点的入度的方法是（ ）。
【解答】求第j列的所有元素之和

⑹ 有向图G用邻接矩阵A[n][n]存储，其第i行的所有元素之和等于顶点i的（ ）。
【解答】出度

⑺ 图的深度优先遍历类似于树的（ ）遍历，它所用到的数据结构是（ ）；图的广度优先遍历类似于树的（）遍历，它所用到的数据结构是（ ）。
【解答】前序，栈，层序，队列

⑻ 对于含有n个顶点e条边的连通图，利用Prim算法求最小生成树的时间复杂度为（），利用Kruskal算法求最小生成树的时间复杂度为（ ）。
【解答】Ｏ(n^2)，Ｏ(elog2e)
【分析】Prim算法采用邻接矩阵做存储结构，适合于求稠密图的最小生成树；Kruskal算法采用边集数组做存储结构，适合于求稀疏图的最小生成树。

⑼ 如果一个有向图不存在（ ），则该图的全部顶点可以排列成一个拓扑序列。
【解答】回路

⑽ 在一个有向图中，若存在弧<vi,vj>、<vj,vk>，则在其拓扑序列中，顶点vi, vj, vk的相对次序为（ ）。
【解答】vi, vj, vk
【分析】对由顶点vi, vj, vk组成的图进行拓扑排序。

2. 选择题

⑴ 在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数的（ ）倍。
A 1/2   B 1   C 2    D 4
【解答】C
【分析】设无向图中含有n个顶点e条边。

⑵ n个顶点的强连通图至少有（　　）条边，其形状是（ ）。
A n   B n+1   C n-1   D n×(n-1)
E 无回路　　　F 有回路　 　G 环状　　 　H 树状
【解答】A，G

⑶ 含n 个顶点的连通图中的任意一条简单路径，其长度不可能超过（ ）。
A 1    B n/2   C n-1     D n
【解答】C
【分析】若超过n-1，则路径中必存在重复的顶点。

⑷ 对于一个具有n个顶点的无向图，若采用邻接矩阵存储，则该矩阵的大小是（ ）。
A n     B (n-1)2     C n-1    D n^2
【解答】D

⑸ 图的生成树（　　），n个顶点的生成树有（ ）条边。
A 唯一 　　　　B 不唯一　　 　C 唯一性不能确定
D n            E n +1         F n-1
【解答】C，F

⑹ 设无向图G=(V, E)和G' =(V', E' )，如果G' 是G的生成树，则下面的说法中错误的是（ ）。
A G' 为 G的子图                      B G' 为 G的连通分量
C G' 为G的极小连通子图且V = V'       D G' 是G的一个无环子图
【解答】B
【分析】连通分量是无向图的极大连通子图，其中极大的含义是将依附于连通分量中顶点的所有边都加上，
  所以，连通分量中可能存在回路。

⑺ G是一个非连通无向图，共有28条边，则该图至少有（ ）个顶点。
A 6       B 7       C 8         D 9
【解答】D
【分析】n个顶点的无向图中，边数e≤n(n-1)/2，将e=28代入，有n≥8，现已知无向图非连通，则n=9。

⑻ 最小生成树指的是（ ） 。
A 由连通网所得到的边数最少的生成树
B 由连通网所得到的顶点数相对较少的生成树
C 连通网中所有生成树中权值之和为最小的生成树
D 连通网的极小连通子图
【解答】C

⑼ 判定一个有向图是否存在回路除了可以利用拓扑排序方法外，还可以用（ ）。
A 求关键路径的方法　　　 B 求最短路径的方法
C 广度优先遍历算法　　　 D 深度优先遍历算法
【解答】D
【分析】当有向图中无回路时，从某顶点出发进行深度优先遍历时，出栈的顺序（退出DFSTraverse算法）即为逆向的拓扑序列。

3. 判断题

⑴ 一个有向图的邻接表和逆邻接表中的结点个数一定相等。
【解答】对。邻接表和逆邻接表的区别仅在于出边和入边，边表中的结点个数都等于有向图中边的个数。

⑵ 用邻接矩阵存储图，所占用的存储空间大小只与图中顶点个数有关，而与图的边数无关。
【解答】对。邻接矩阵的空间复杂度为Ｏ(n2)，与边的个数无关。

⑶ 图G的生成树是该图的一个极小连通子图
【解答】错。必须包含全部顶点。

⑷ 无向图的邻接矩阵一定是对称的，有向图的邻接矩阵一定是不对称的
【解答】错。有向图的邻接矩阵不一定对称，例如有向完全图的邻接矩阵就是对称的。

⑸ 对任意一个图，从某顶点出发进行一次深度优先或广度优先遍历，可访问图的所有顶点。
【解答】错。只有连通图从某顶点出发进行一次遍历，可访问图的所有顶点。

⑹ 在一个有向图的拓扑序列中，若顶点a在顶点b之前，则图中必有一条弧。
【解答】错。只能说明从顶点a到顶点b有一条路径。

⑺ 若一个有向图的邻接矩阵中对角线以下元素均为零，则该图的拓扑序列必定存在。
【解答】对。参见第11题的证明。

四 应用题

1. n个顶点的无向图，采用邻接表存储，回答下列问题?
⑴ 图中有多少条边？
⑵ 任意两个顶点i和j是否有边相连？
⑶ 任意一个顶点的度是多少?

解答】
⑴ 边表中的结点个数之和除以2。
⑵ 第i个边表中是否含有结点j。
⑶ 该顶点所对应的边表中所含结点个数。

2．n个顶点的无向图，采用邻接矩阵存储，回答下列问题：
⑴ 图中有多少条边？
⑵ 任意两个顶点i和j是否有边相连？
⑶ 任意一个顶点的度是多少？
【解答】
⑴ 邻接矩阵中非零元素个数的总和除以2。
⑵ 当邻接矩阵A中A[i][j]=1（或A[j][i]=1）时，表示两顶点之间有边相连。
⑶ 计算邻接矩阵上该顶点对应的行上非零元素的个数。