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彻底弄懂最大堆的四种操作(图解+程序)（JAVA）

java数据结构算法编程 
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  堆有最大堆和最小堆之分，最大堆就是每个节点的值都>=其左右孩子（如果有的话）值的完全二叉树。最小堆便是每个节点的值都<=其左右孩子值的完全二叉树。

  设有n个元素的序列{k1,k2,...,kn},当且仅当满足下列关系时,称之为堆。


堆的三种基本操作(以下以最大堆为例)：
⑴最大堆的插入  

    由于需要维持完全二叉树的形态，需要先将要插入的结点x放在最底层的最右边，插入后满 足完全二叉树的特点；
  然后把x依次向上调整到合适位置满足堆的性质,例如下图中插入80,先将80放在最后,然后两次上浮到合适位置.
  时间：O(logn)。  “结点上浮”


程序实现: 
 //向最大堆中插入元素, heap:存放堆元素的数组
    public static void insert(List<Integer> heap, int value) { 
       //在数组的尾部添加
        if(heap.size()==0)
          heap.add(0);//数组下标为0的位置不放元素
        heap.add(value); 
        //开始上升操作 
       // heapUp2(heap, heap.size() - 1); 
        heapUp(heap, heap.size() - 1); 
 
    } 
 
    //上升，让插入的数和父节点的数值比较，当大于父节点的时候就和父节点的值相交换 
    public static void heapUp(List<Integer> heap, int index) { 
 
        //注意由于数值是从下标为1开始，当index = 1的时候，已经是根节点了 
        if (index > 1) { 
            //求出父亲的节点 
            int parent = index / 2; 
 
            //获取相应位置的数值 
            int parentValue = (Integer) heap.get(parent); 
            int indexValue = (Integer) heap.get(index); 
            //如果父亲节点比index的数值小，就交换二者的数值 
            if (parentValue < indexValue) { 
                //交换数值 
                swap(heap, parent, index); 
                //递归调用 
                heapUp(heap, parent); 
            } 
 
        } 
    }


⑵删除
   操作原理是：当删除节点的数值时，原来的位置就会出现一个孔,填充这个孔的方法就是，
把最后的叶子的值赋给该孔并下调到合适位置，最后把该叶子删除。
 
如图中要删除72,先用堆中最后一个元素来35替换72,再将35下沉到合适位置,最后将叶子节点删除。
　　“结点下沉” 



程序:
 /**
     * 删除堆中位置是index处的节点
     * 操作原理是：当删除节点的数值时，原来的位置就会出现一个孔
     * 填充这个孔的方法就是，把最后的叶子的值赋给该孔，最后把该叶子删除
     * @param heap 
     */ 
    public static void delete(List<Integer> heap,int index) { 
        //把最后的一个叶子的数值赋值给index位置 
        heap.set(index, heap.get(heap.size() - 1)); 
        //下沉操作 
        //heapDown2(heap, index); 
        heapDown(heap, index); 
        //把最后一个位置的数字删除 
        heap.remove(heap.size() - 1); 
    } 


    /**
     * 递归实现
     * 删除堆中一个数据的时候，根据堆的性质，应该把相应的位置下移，才能保持住堆性质不变
     * @param heap 保持堆元素的数组
     * @param index 被删除的那个节点的位置
     */ 
    public static void heapDown(List<Integer> heap, int index) { 
        //因为第一个位置存储的是空值，不在考虑之内 
        int n = heap.size() - 2; 
 
        //记录最大的那个儿子节点的位置 
        int child = -1; 
 
        //2*index>n说明该节点没有左右儿子节点了，那么就返回 
        if (2 * index > n) { 
            return; 
        } //如果左右儿子都存在 
        else if (2 * index < n) { 
 
            //定义左儿子节点 
            child = 2 * index; 
            //如果左儿子小于右儿子的数值，取右儿子的下标 
            if ((Integer) heap.get(child) < (Integer) heap.get(child + 1)) { 
                child++; 
            } 
 
        }//如果只有一个儿子（左儿子节点） 
        else if (2 * index == n) { 
            child = 2 * index; 
        } 
 
        if ((Integer) heap.get(child) > (Integer) heap.get(index)) { 
            //交换堆中的child，和index位置的值 
            swap(heap, child, index); 
 
            //完成交换后递归调用，继续下降 
            heapDown(heap, child); 
        } 
    }


⑶初始化
方法1：插入法：
  从空堆开始，依次插入每一个结点，直到所有的结点全部插入到堆为止。
  时间：O(n*log(n))
  方法2：调整法：
    序列对应一个完全二叉树；从最后一个分支结点（n div 2）开始，到根（1）为止，依次对每个分支结点进行调整（下沉），以便形成以每个分支结点为根的堆，当最后对树根结点进行调整后，整个树就变成了一个堆。
  时间：O(n)
对如图的序列,要使其成为堆,我们从最后一个分支结点(10/2),其值为72开始,依次对每个分支节点53,18,36 45进行调整(下沉). 




程序:

     /*根据树的性质建堆，树节点前一半一定是分支节点，即有孩子的，所以我们从这里开始调整出初始堆*/  
     public static void adjust(List<Integer> heap){
        for (int i = heap.size() / 2; i > 0; i--)  
            adjust(heap,i, heap.size()-1);  

          
        System.out.println("=================================================");
        System.out.println("调整后的初始堆：");
          print(heap);
      }

    /** 
     * 调整堆，使其满足堆得定义 
     * @param i 
     * @param n 
     */  
    public static void adjust(List<Integer> heap,int i, int n) {  
       
        int child;  
        for (; i <= n / 2; ) {  
            child = i * 2;  
            if(child+1<=n&&heap.get(child)<heap.get(child+1))  
                child+=1;/*使child指向值较大的孩子*/  
            if(heap.get(i)< heap.get(child)){  
                swap(heap,i, child);  
                /*交换后，以child为根的子树不一定满足堆定义，所以从child处开始调整*/  
                i = child;  
               
            }  else break;
        }  
    }


(4)最大堆排序  

 //对一个最大堆heap排序
    public static void heapSort(List<Integer> heap) {  
       
        for (int i = heap.size()-1; i > 0; i--) {  
         /*把根节点跟最后一个元素交换位置，调整剩下的n-1个节点，即可排好序*/  
            swap(heap,1, i);  
            adjust(heap,1, i - 1);  
        }  
    }


(5)完整的代码 
import java.util.*; 
 
/**
 *实现的最大堆的插入和删除操作
 * @author Arthur
 */ 
public class Heap { 

     /**
     * 删除堆中位置是index处的值
     * 操作原理是：当删除节点的数值时，原来的位置就会出现一个孔
     * 填充这个孔的方法就是，把最后的叶子的值赋给该孔，最后把该叶子删除
     * @param heap 一个最大堆
     */ 
    public static void delete(List<Integer> heap,int index) { 
        //把最后的一个叶子的数值赋值给index位置 
        heap.set(index, heap.get(heap.size() - 1)); 
        //下沉操作 
        //heapDown2(heap, index); 
        heapDown(heap, index); //节点下沉
        //把最后一个位置的数字删除 
        heap.remove(heap.size() - 1); 
    } 
 
 
    /** 
     * 节点下沉递归实现
     * 删除一个堆中一个数据的时候，根据堆的性质，应该把相应的位置下移，才能保持住堆性质不变
     * @param heap 保持最大堆元素的数组
     * @param index 被删除的那个节点的位置
     */ 
    public static void heapDown(List<Integer> heap, int index) { 
        //因为第一个位置存储的是空值，不在考虑之内 
        int n = heap.size() - 2; 
 
        //记录最大的那个儿子节点的位置 
        int child = -1; 
 
        //2*index>n说明该节点没有左右儿子节点了，那么就返回 
        if (2 * index > n) { 
            return; 
        } //如果左右儿子都存在 
        else if (2 * index < n) { 
 
            //定义左儿子节点 
            child = 2 * index; 
            //如果左儿子小于右儿子的数值，取右儿子的下标 
            if ((Integer) heap.get(child) < (Integer) heap.get(child + 1)) { 
                child++; 
            } 
 
        }//如果只有一个儿子（左儿子节点） 
        else if (2 * index == n) { 
            child = 2 * index; 
        } 
 
        if ((Integer) heap.get(child) > (Integer) heap.get(index)) { 
            //交换堆中的child，和index位置的值 
            swap(heap, child, index); 
 
            //完成交换后递归调用，继续下降 
            heapDown(heap, child); 
        } 
    } 
 
    //非递归实现 
    public static void heapDown2(List<Integer> heap, int index) { 
        int child = 0;//存储左儿子的位置 
 
        int temp = (Integer) heap.get(index); 
        int n = heap.size() - 2; 
        //如果有儿子的话 
        for (; 2 * index <= n; index = child) { 
            //获取左儿子的位置 
            child = 2 * index; 
            //如果只有左儿子 
            if (child == n) { 
                child = 2 * index; 
            } //如果右儿子比左儿子的数值大 
            else if ((Integer) heap.get(child) < (Integer) heap.get(child + 1)) { 
                child++; 
            } 
 
            //如果数值最大的儿子比temp的值大 
            if ((Integer) heap.get(child) >temp) { 
                //交换堆中的child，和index位置的值 
                swap(heap, child, index); 
            } else { 
                break; 
            } 
        } 
    } 
 
    
     //打印链表 
    public static void print(List<Integer> list) { 
        for (int i = 1; i < list.size(); i++) { 
            System.out.print(list.get(i) + " "); 
        } 
        System.out.println();
    } 
 
    //把堆中的a,b位置的值互换 
    public static void swap(List<Integer> heap, int a, int b) { 
        //临时存储child位置的值 
        int temp = (Integer) heap.get(a); 
 
        //把index的值赋给child的位置 
        heap.set(a, heap.get(b)); 
 
        //把原来的child位置的数值赋值给index位置 
        heap.set(b, temp); 
    } 
 
    //向最大堆中插入元素 
    public static void insert(List<Integer> heap, int value) { 
           //在数组的尾部添加要插入的元素
        if(heap.size()==0)
          heap.add(0);//数组下标为0的位置不放元素
        heap.add(value); 
        //开始上升操作 
       // heapUp2(heap, heap.size() - 1); 
        heapUp(heap, heap.size() - 1); 
 
    } 
 
    //节点上浮，让插入的数和父节点的数值比较，当大于父节点的时候就和节点的值相交换 
    public static void heapUp(List<Integer> heap, int index) { 
 
        //注意由于数值是从小标为一开始，当index = 1的时候，已经是根节点了 
        if (index > 1) { 
            //保存父亲的节点 
            int parent = index / 2; 
 
            //获取相应位置的数值 
            int parentValue = (Integer) heap.get(parent); 
            int indexValue = (Integer) heap.get(index); 
            //如果父亲节点比index的数值小，就交换二者的数值 
            if (parentValue < indexValue) { 
                //交换数值 
                swap(heap, parent, index); 
                //递归调用 
                heapUp(heap, parent); 
            } 
 
        } 
    } 
 
    //非递归实现 
    public static void heapUp2(List<Integer> heap, int index) { 
        int parent = 0; 
        for (; index > 1; index /= 2) { 
            //获取index的父节点的下标 
            parent = index / 2; 
 
            //获得父节点的值 
            int parentValue = (Integer) heap.get(parent); 
            //获得index位置的值 
            int indexValue = (Integer) heap.get(index); 
             
            //如果小于就交换 
            if (parentValue < indexValue) { 
                swap(heap, parent, index); 
            } 
        } 
    } 

     /*根据树的性质建堆，树节点前一半一定是分支节点，即有孩子的，所以我们从这里开始调整出初始堆*/  
     public static void adjust(List<Integer> heap){
        for (int i = heap.size() / 2; i > 0; i--)  
            adjust(heap,i, heap.size()-1);  

          
        System.out.println("=================================================");
        System.out.println("调整后的初始堆：");
          print(heap);
      }

    /** 
     * 调整堆，使其满足堆得定义 
     * @param i 
     * @param n 
     */  
    public static void adjust(List<Integer> heap,int i, int n) {  
       
        int child;  
        for (; i <= n / 2; ) {  
            child = i * 2;  
            if(child+1<=n&&heap.get(child)<heap.get(child+1))  
                child+=1;/*使child指向值较大的孩子*/  
            if(heap.get(i)< heap.get(child)){  
                swap(heap,i, child);  
                /*交换后，以child为根的子树不一定满足堆定义，所以从child处开始调整*/  
                i = child;  
               
            }  else break;
        }  
    }  
  
   //对一个最大堆heap排序
    public static void heapSort(List<Integer> heap) {  
       
        for (int i = heap.size()-1; i > 0; i--) {  
        /*把根节点跟最后一个元素交换位置，调整剩下的n-1个节点，即可排好序*/  
            swap(heap,1, i);  
            adjust(heap,1, i - 1);  
        }  
    }  

   public static void main(String args[]) { 
        List<Integer> array = new ArrayList<Integer>(Arrays.asList(null, 1, 2, 5, 10, 3, 7, 11, 15, 17, 20, 9, 15, 8, 16));
        adjust(array);//调整使array成为最大堆
       
        delete(array,8);//堆中删除下标是8的元素
        System.out.println("删除后");
        print(array);

        insert(array, 99);//堆中插入
        print(array); 

        heapSort(array);//排序
        System.out.println("将堆排序后:");
        print(array);
        System.out.println("-------------------------");
        List<Integer> array1=new ArrayList<Integer>();
        insert(array1,0);
        insert(array1, 1);insert(array1, 2);insert(array1, 5);
        insert(array1, 10);insert(array1, 3);insert(array1, 7);
        insert(array1, 11);insert(array1, 15); insert(array1, 17);
        insert(array1, 20);insert(array1, 9);
        insert(array1, 15);insert(array1, 8);insert(array1, 16);
        print(array1);
        
        System.out.println("==============================");
        array=new ArrayList<Integer>(Arrays.asList(null,45,36,18,53,72,30,48,93,15,35));
        adjust(array);
          insert(array, 80);//堆中插入
          print(array);
         delete(array,2);//堆中删除80的元素
         print(array);
         delete(array,2);//堆中删除72的元素
         print(array);
              
    } 
}


程序运行:
D:\java>java   Heap
=================================================
调整后的初始堆：
20 17 16 15 9 15 11 1 10 3 2 7 8 5
删除后
20 17 16 15 9 15 11 5 10 3 2 7 8
99 17 20 15 9 15 16 5 10 3 2 7 8 11
将堆排序后:
2 3 5 7 8 9 10 11 15 15 16 17 20 99
-------------------------
20 17 16 10 15 9 15 0 5 2 11 1 7 3 8
==============================
=================================================
调整后的初始堆：
93 72 48 53 45 30 18 36 15 35
93 80 48 53 72 30 18 36 15 35 45
93 72 48 53 45 30 18 36 15 35
93 53 48 36 45 30 18 35 15
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2 楼 swm8023 2014-03-12  
删除操作，将最后一个叶子节点插入后也有可能上浮吧
1 楼 adam_zs 2013-03-12  
谢谢分享、
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