纳米时代与现代无穷小分析

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6月3日，我漫步在北京中关村北大街（原来是一片宽阔的苹果园区），心中思念着那些已经离开人间的科学院计算所老朋友们，不知道他们现今在天堂里面生活得怎样？

近日，我的头脑里面几乎都是纳米（Nano）。昨日，我突然萌生一个念头：前往位于北京白石桥的“国家图书馆”查询一下有关纳米时代（NanoTimes）的无穷小计算（也叫“无限小分析”）的进展情况，有所发现，在此与你分享。

1976年，H.Jerome Keisler的名著“Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach”，经受了历史的考验，1986年再版，2000年该书作者英明决定地将其完全“开放”（可以自由免费下载），出了所谓“在线版本”，并且在今年二月做了最新的“修订”。这一发现，让我兴高采烈，手舞足蹈，简直“忘乎所以”。

回家之后，赶忙下载阅读。该书电子版（PDF格式，共计913页），其结束语（Epilogue）写得特别精彩，字字句句说到了我的心坎儿上。站在纳米技术的立场看问题上，比纳米小的东西几乎都算是“无穷小”，可以略去不计。但是，无穷小在工程上怎么严格使用呢？也就是说，有没有严格意义上的“无穷小分析”现代无穷小的“微积分”（Calculus）是个什么样子？答案是：必须扩大实数系，把无穷小严格地引进数学研究中来。

从历史发展上来看：牛顿与莱布尼兹的“无穷小”微积分含有内在的逻辑矛盾，被卡在其著名的“数学手稿“中”严厉地批评过。严格地讲，1948年，超实数系（Hyperreals）已经被数学家E.Hewitt使用过，直到1961年才被A.Robinson正式引入”非标准分析“，成为数学大家庭的一个正式”成员“。1976年H.Jerome Keisler继续发扬广大”无穷小“的概念，发表了历史上第一本”无穷小微积分“，是有历史意义的。该书叙述十分严谨，概念思路相当明晰，没有任何含混的”废话“，适合于自学琢磨，其封面如下：

我所庆幸的是，今天终于有了”开放版权“的无穷小微积分（免费电子版）可供全球纳米”粉丝“们自学使用。历史已经证明：数学与物理同步发展。这种无穷小分析正是纳米时代（工程）微积分。对于这种说法，有人也许会说，我是头脑发疯了。我说，自己头脑没有”发疯“，而是在说大实话。你说呢？历史会告诉我们未来。