对 T1 关于Category Theory 和Monad 一文的理解

原文见 http://www.iteye.com/topic/147443?page=1，没赶上讨论。今天看到有 http://wfp.group.iteye.com/group/topic/4639一文，谈论 monad，搜到 T1 发的这篇文，略有心得，提出来请大家帮忙指正一下。

抱歉的是，对近世数学不熟，能把这篇文看下去的动力是哲学。幺半群等等概念和符号又符号的东西看了本文才有点模糊的概念。

文中首先介绍了两个概念，一是范畴，这大概包括集合和集合内元素的运算，二是两个范畴之间的同构和实现同构的映射。

文中所举的例子工资的例子很经典。

大概理解为，范畴如自然数，集合为 0,1,2,3....
支持 + - * / 等操作

范畴如美元工资（美元计算的工资），集合为 $0, $1, $2, ...
支持 + - 操作。 * / 操作似乎是美元工资和自然数两个范畴之间的操作，当否。

现在，自然数的 + 操作已经实现，假如 + 操作异常复杂，需要 1w 行代码或者 1w 张稿纸演算。在美元工资范畴要实现 + 法，也要同样的代价。幸运的是，我们发现这两个范畴的加法是同构的，因此，只要提供一个映射函数，将工资范畴的 $0 脱去$ 变成自然数范畴的元素 0（一个自然数），就可以把自然数的 + 延展到于美元工资范畴。因此，需要两个映射：

去$ : 自然数 -> 美元工资的映射
加$ : 美元工资 -> 自然数的映射

有了这两个映射，美元工资范畴的加法就可以定义为：

范畴 美元工资{
  操作 + (a, b){
      加$(自然数::+ (去$(a), 去$(b)))
  }
}

如上，常常需要将这个范畴的东西转到另外一个范畴，然后在另外一个范畴演算，再转换回原来的范畴，或者转换到另外第三个范畴。monad 的主要工作就是干这个用。

先不谈 IO、continuous 等问题。不知道这个理解有没有问题。

这么一想大概是这个意思

这个解释起来比较容易理解了，开始我也看不明白monad的意思。

理解倒是好理解了，今天又找了几篇文，如

http://hi.baidu.com/starwing/blog/item/9b0f78f4f938fdd1f2d3859e.html

还有好几篇，说的意思也近似。


但还是有个问题没搞懂，究竟 IO 是不是脏操作？ SICP 给了一个思路，将状态理解为在时间中不断延展的磁带，也就是一个不断延展的列表来理解输入。不管怎么绕 readLine()，每次的返回结果都不同，这是回避不了的。 貌似 monad 也只是将脏操作的范围框起来，控制了它的活动范围而已。该悲观的猜测是否正确，请教高人。

btw. 如果 io 能说通，a = a + 1 在 pure function 也可以绕出来对吧

如果把 readLine 改写为 readLine(now(), machine id)，剩下的问题就是 now() 函数为何每次都不同了

IO函数当然是非纯函数。其实按照函数式的定义，IO是操作，不能叫函数的。包装成函数了就只能当非纯函数了。
不错。readline确实有个默认的参数是now()，所以readline被包装成函数之后传进它的参数不可能是一样的（“不可能踏入同一条河”）。也就是readline永远没有证明自己纯函数身份的可能。now()函数每次不同是因为设计now()读取now()要的就是那个不同，是时间(确切地说是机器的晶震)在负责给他range着的值。readline的now()参数真正一样的时候，比如两台机器同时在工作同时在读取，那machine id也一样，而且machine id那台机器正在广播，那readline的返回值就一样了。但这之前有时钟同步的问题，T1讲过，我还是不清楚。
你说的这个“脏”，我说的这个“非纯函数”，说的其实是往一个函数传进readline时, 每次传进去的明明都是readline，貌似传进去一样的参，其实是不能保证一样的。