树状数组

　树状数组是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构，假设数组a[1..n]，  用lowbit函数维护了一个树的结构那么查询a[1]+...+a[n]的时间是log级别的，而且是一个在线的数据结构，
　　支持随时修改某个元素的值，复杂度也为log级别。
　　来观察这个图：
　　令这棵树的结点编号为C1，C2...Cn。令每个结点的值为这棵树的值的总和，那么容易发现：
　　C1 = A1
　　C2 = A1 + A2
　　C3 = A3
　　C4 = A1 + A2 + A3 + A4
　　C5 = A5
　　C6 = A5 + A6
　　C7 = A7
　　C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8
　　...
　　C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16
　　这里有一个有趣的性质：
　　设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax，
　　所以很明显：Cn = A(n – 2^k + 1) + ... + An
　　算这个2^k有一个快捷的办法，定义一个函数如下即可：
　　int lowbit(int x){
　　return x&(x^(x–1));
　　}
　　当想要查询一个SUM(n)(求a[n]的和），可以依据如下算法即可：
　　step1:　令sum = 0，转第二步；
　　step2:　假如n <= 0，算法结束，返回sum值，否则sum = sum + Cn，转第三步；
　　step3: 令n = n – lowbit(n)，转第二步。
　　可以看出，这个算法就是将这一个个区间的和全部加起来，为什么是效率是log(n)的呢？以下给出证明：
　　n = n – lowbit(n)这一步实际上等价于将n的二进制的最后一个1减去。而n的二进制里最多有log(n)个1，所以查询效率是log(n)的。
　　那么修改呢，修改一个节点，必须修改其所有祖先，最坏情况下为修改第一个元素，最多有log(n)的祖先。
　　所以修改算法如下（给某个结点i加上x）：
　　step1: 当i > n时，算法结束，否则转第二步；
　　step2: Ci = Ci + x， i = i + lowbit(i)转第一步。
　　i = i +lowbit(i)这个过程实际上也只是一个把末尾1补为0的过程。
　　对于数组求和来说树状数组简直太快了!