倒水问题的3个相关文章

3.
starfish(海星) ( ) 信誉：97  2001-10-28 22:53:55Z    得分:20
?

你的这个问题叫做量水问题，虽然宽度优先搜索可以做，但是那样做太蠢了：）复杂度太高。这个问题以前有人问过我，我把答案贴出来：）


[量水问题]：
有三个分别装有a升水，b升水，c升水的量筒，其中a,b互质，c>b>a>0，现在c筒装满水，问能否在c筒中量出d升水(c>d>0)。若可以，给出方案。

解答：

所谓模数方程，就是模线性方程，即形如 ax ≡ b (mod c) 形式的方程，其中a,b,c是常数，x是自变量，这个方程表示ax mod
c = b mod c，即ax和b模c同余。
这个量水问题，用模数方程解比较方便，具体算法分析如下。

量水过程实际上就是倒来倒去，每次倒的时候总有如下几个特点：
1。总有一个筒中的水没有变动；
2。不是一个筒被倒满酒是另一个筒被倒光；
3。c筒仅起到中转作用，而本身的容积除了必须足够装下a筒和b筒全部的水以外，别无其他的限制；
这样，假设整个倒水过程中对a筒倒满了x次，对b筒倒满了y次，则：
ax + by = d，  （1）
上式的x,y为整数，而且既可以是正整数（表示该筒（a或b）被c筒的水倒满的次数），也可以是负整数（表示该筒（a或b）被倒满后又倒回到c筒的次数）。
一般可以用穷举法来解方程（1），但是这种方法局限性很大。我们可以将方程转化为：
ax = -by + d，
进一步变为
ax ≡ d (mod b)，   （20
这样问题就变成了求解模数方程（2）的解的问题。解x的个数就是可行方案的总数。其中xi表示第i种方案中a筒倒满的次数，xi代入方程（1）后求出来的yi表示b筒倒满的次数。

例如：有三个量筒，a=3,b=7,c=10,求c筒中量出5升水的所有方案。
解方程 ： 3x ≡ 5 (mod 7) 得到 x1 = 4, y1=-1 和x2=-3, y2=2，
这两个解对应的倒水方案如下：

方案一： x1=4, y1=-1

次数   a   b   c       说明
1    0   0   10      初始状态
2    3   0    7      从c倒水到a中，把a倒满
3    0   3    7      从a倒水到b中，把a倒空
4    3   3    4      从c倒水到a中，把a倒满
5    0   6    4      从a倒水到b中，把a倒空
6    3   6    1      从c倒水到a中，把a倒满
7    2   7    1      从a倒水到b中，把b倒满
8    2   0    8      从b倒水到c中，把b倒空
9    0   2    8      从a倒水到b中，把a倒空
10   3   2    5      从c倒水到a中，把a倒满
11   0   5    5      从a倒水到b中，把a倒空

整个过程中，一共有4次"从c倒水到a中，把a倒满"，有1次"从b倒水到c中，把b倒空"；


方案二： x2=-3, y2=2

次数   a   b   c       说明
1    0   0   10      初始状态
2    0   7    3      从c倒水到b中，把b倒满
3    3   4    3      从b倒水到a中，把a倒满
4    0   4    6      从a倒水到c中，把a倒空
5    3   1    6      从b倒水到a中，把a倒满
6    0   1    9      从a倒水到c中，把a倒空
7    1   0    9      从b倒水到a中，把b倒空
8    1   7    2      从c倒水到b中，把b倒满
9    3   5    2      从b倒水到a中，把a倒满
10   0   5    5      从a倒水到c中，把a倒空

整个过程中，一共有3次"从a倒水到c中，把a倒空"，有2次"从c倒水到b中，把b倒满"；

至于其中解模数方程的方法，一些关于数论的书上有介绍，说起来也比较麻烦，有很多的定理公式，我直接给出一个程序吧：

==========================================================
c 语言的程序：
==========================================================

/********************************************

     求解模线性方程 ax=b (mod n) ,n>0
                  copyright starfish
                          2000/10/24

*********************************************/

void modular_linear_equation_solver(int a, int b, int n)
{
  int e,i,d;
  int x,y;
  d = ext_euclid(a, n, x, y);
  if (b%d>0) {
      printf("No answer!\n");
  } else {
     e=(x*(b/d))%n;
     for (i=0; i<d; i++)  //notice! Here x maybe less than zero!
        printf("The %dth answer is : %ld\n",i+1,(e+i*(n/d))%n);
  }
}


其中用到的ext_euclid 函数如下：

/*********************************************

   扩展欧几里德算法求gcd(a,b)=ax+by

                  copyright starfish
                          2000/10/24

*********************************************/

int ext_euclid(int a,int b,int &x,int &y)
{
  int t,d;
  if (b==0) {x=1;y=0;return a;}
  d=ext_euclid(b,a %b,x,y);
  t=x;
  x=y;
  y=t-a/b*y;
  return d;
}


==========================================================
pascal语言的程序：
==========================================================

{=== 扩展的欧几里德算法，求出gcd(a,b)和满足gcd(a,b)=ax+by的整数x和y ===}
function extended_euclid(a,b:longint;var x,y:longint):longint;
var
t:longint;
begin
if b=0 then
begin
result:=a;
x:=1;
y:=0;
end
else
begin
result:=extended_euclid(b,a mod b,x,y);
t:=x;
x:=y;
y:=t-(a div b)*y;
end;
end;

{=== 求解模线性方程 ax ≡ b (mod n) 其中n>0 ===}
procedure modular_linear_equation_solver(a,b,n:longint);
var
d,x,y,e,i:longint;
begin
d:=extended_euclid(a,n,x,y);
if b mod d>0 then
  writeln('No answer!')  {输出无解信息}
else
begin
  e:=x*(b div d)mod n;
  for i:=0 to d-1 do
   writeln( (e+i*(n div d)) mod n ); {输出第i个解 }
end;
end;

2.
发信人: eigolomoh()
整理人: jeter(2000-07-27 00:20:45), 站内信件
倒水问题
——经典智力题推而广之一

倒水问题的经典形式是这样的：

"假设有一个池塘，里面有无穷多的水。现有2个空水壶，容积分别为
5升和6升。问题是如何只用这2个水壶从池塘里取得3升的水。"

当然题外是有一些合理的限制的，比如从池塘里灌水的时候，不管壶
里是不是已经有水了，壶一定要灌满，不能和另一个壶里的水位比照
一下"毛估估"（我们可以假设壶是不透明的，而且形状也不同）；
同样的，如果要把水从壶里倒进池塘里，一定要都倒光；如果要把水
从一个壶里倒进另一个壶里，也要都倒光，除非在倒的过程中另一个
壶已经满了；倒水的时候水没有损失（蒸发溢出什么的）等等等等。

事实上，要解决上面这题，你只要用两个壶中的其中一个从池塘里灌
水，不断地倒到另一个壶里，当第二个壶满了的时候，把其中的水倒
回池塘里，反复几次，就得到答案了。以5升壶(A)灌6升壶(B)为例：
A   B
0   0
5   0   A->B
0   5
5   5   A->B
4   6
4   0   A->B
0   4
5   4   A->B
3   6

现在我们问，如果是多于2只壶的情况怎么办（这样一来就不能用上面
的循环倒水法了）？如何在倒水之前就知道靠这些壶是一定能（或一
定不能）倒出若干升水来的？试举数例：
1)两个壶：65升和78升，倒38升和39升。
2)三个壶：6升，10升和45升，倒31升。

我们可以看到，在1)中，65=5*13，78=6*13，而39=3*13。所以如果把
13升水看作一个单位的话（原题中的"升"是没有什么重要意义的，
你可以把它换成任何容积单位，毫升，加仑——或者"13升"），这
题和最初的题目是一样的。而38升呢？显然是不可能的，它不是13的
倍数，而65升和78升的壶怎么也只能倒出13升的倍数来。也可以这样
理解：这相当于在原题中要求用5升和6升的壶倒出38/39升来。

那么2)呢？你会发现，只用任何其中两个壶是倒不出31升水的，理由
就是上面所说的，(6,10)=2，(6,45)=3，(10,45)=5，（这里(a,b)是
a和b的最大公约数），而2，3，5均不整除31。可是用三个壶就可以倒
出31升：用10升壶四次，6升壶一次灌45升壶，得到1升水，然后灌满
10升壶三次得30升水，加起来为31升。

一般地我们有"灌水定理"：

"如果有n个壶容积分别为A1，A2，……，An（Ai均为大于0的整数）
设w为另一大于0的整数。则用此n个壶可倒出w升水的充要条件为：
1)w小于等于A1+A2+……+An；
2)w可被(A1,A2,……,An)（这n个数的最大公约数）整除。"

这两个条件都显然是必要条件，如果1)不被满足的话，你连放这么多
水的地方都没有。2)的道理和上面两个壶的情况完全一样，因为在任
何步骤中，任何壶中永远只有(A1,A2,……,An)的倍数的水。

现在我们来看一下充分性。在中学里我们学过，如果两个整数a和b互
素的话，那么存在两个整数u和v，使得ua+vb=1。证明的方法很简单：
在对a和b做欧几里德辗转相除时，所有中间的结果，包括最后得到的
结果显然都有ua+vb的形式（比如第一步，假设a小于b，记a除b的结果
为s，余数为t，即b=sa+t，则t=(-s)a+b，即u=-s，v=1）。而两个数
互素意味着欧几里德辗转相除法的最后一步的结果是1，所以1也可以
记作ua+vb的形式。稍微推广一点，如果(a,b)=c，那么存在u和v使得
ua+vb=c（两边都除以c就回到原来的命题）。

再推广一点，如果A1，A2，……，An是n个整数，(A1,A2,……,An)=s，
那么存在整数U1，U2，……，Un，使得
  U1A1 + U2A2 + …… + UnAn = s.        (*)
在代数学上称此结果为"整数环是主理想环"。这也不难证，只要看
到
(A1,A2,A3,A4,……,An)=((((A1,A2),A3),A4),……,An).
也就是说，可以反复应用上一段中的公式：比如三个数a，b，c，它
们的最大公约数是d。假设(a,b)=e，那么(e,c)=((a,b),c)=d。现在
有u1，u2使得u1a+u2b=e，又有v1，v2使得v1e+v2c=d，那么
  (v1u1)a+(v1u2)b+(v2)c=d.

好，让我们回头看"灌水定理"。w是(A1,A2,……,An)的倍数，根据
上节的公式(*)，两边乘以这个倍数，我们就有整数V1，V2，……，Vn
使得
  V1A1 + V2A2 + …… + VnAn = w.
注意到Vi是有正有负的。

这就说明，只要分别把A1，A2，……，An壶，灌上V1，V2，……，Vn
次（如果Vi是负的话，"灌上Vi次"要理解成"倒空-Vi次"），就可
以得到w升水了。具体操作上，先求出各Vi，然后先往Vi是正数的壶里
灌水，灌1次就把Vi减1。再把这些水到进Vi是负数的壶里，等某个壶
灌满了，就把它倒空，然后给这个负的Vi加1，壶之间倒来倒去不变更
各Vi的值。要注意的是要从池塘里灌水，一定要用空壶灌，要倒进池
塘里的水，一定要是整壶的。这样一直到所有Vi都是0为止。

会不会发生卡住了，既不能灌水又不能倒掉的情况？不会的。如果有
Vi仍旧是负数，而Ai壶却没满：那么如果有其它Vi是正的壶里有水的
话，就都倒给它；如果有其它Vi是正的壶里没水，那么就拿那个壶打
水来灌（别忘了给打水的壶的Vi减1）；如果根本没有任何Vi是正的壶
了——这是不可能的，这意味着w是负的。有Vi仍旧是正数，而Ai壶却
没满的情况和这类似，你会发现你要用到定理中的条件1)。

这样"灌水定理"彻底得证。当然，实际解题当中如果壶的数目和容
积都比较大的话，手工来找(*)中的各Ui比较困难，不过可以写个程序，
连倒水的步骤都算出来。最后要指出的一点是，(*)中的Ui不是唯一的，
所以倒水的方式也不是唯一的。

1.
http://www.nocow.cn/index.php/%E5%AE%BD%E5%BA%A6%E4%BC%98%E5%85%88%E6%90%9C%E7%B4%A2

问题描述：有A，B，C三个桶，容量分别为3L，7L，10L。现C桶有10L水。要求在水只能在桶间转移的前提下，使得C桶与B桶平分10L水。求最简洁操作。

program BFS;
const
       v:array[1..3] of integer= (3,7,10); //三种桶的容量。
type
       node=record
               l:array[1..3] of longint;//三个水桶。
               p:longint;//每个结点的父结点。
            end;
var
       i,j,head,tail:longint;
       t:boolean; //找到目标的标志。
       a:array[0..100] of node;

procedure init;
var
       i,j:longint;
begin
       fillchar(a,sizeof(a),0);
       t:=false;
       a[0].l[3]:=10;
       head:=-1;
       tail:=0;
end;

procedure pour(x,y:longint);
var
       i,j:longint;
begin
       if (a[head].l[x]=0) or t then exit;

       inc(tail);
       a[tail]:=a[head];
       a[tail].p:=head;

       if a[tail].l[x]>v[y]-a[tail].l[y] then
       begin
               dec(a[tail].l[x],v[y]-a[tail].l[y]);
               a[tail].l[y]:=v[y];
       end else
       begin
               inc(a[tail].l[y],a[tail].l[x]);
               a[tail].l[x]:=0;
       end;
       for i:=0 to tail-1 do //检查该状态是否出现过，是的话删除。
       begin
               if a[i]=a[tail] then
               begin
                       dec(tail);
                       exit;
               end;
       end;
      if a[tail].l[3]=5 then t:=true;
end;

procedure main;
var
       i,j:longint;
begin
       repeat
               inc(head);
               pour(1,2); //pour函数的作用是尝试把x桶里的水倒入y桶，看能不能产生新的状态。
               pour(2,1);
               pour(1,3);
               pour(3,1);
               pour(2,3);
               pour(3,2);
       until (a[tail].l[3]=5) or (tail=100); //当找到目标或者已经超出预定的搜索范围的时候退出。
end;

procedure print;
var
       c:array[1..100] of longint;
       i,j:longint;
begin
       i:=0;
       while a[tail].p<>0 do
       begin
               inc(i);
               c[i]:=tail;
               tail:=a[tail].p;
       end;
       for j:=i downto 1 do writeln(a[c[j］.l[1],' ',a[c[j］.l[2],' ',a[c[j］.l[3]);
end;

begin
       init;
       main;
       print;
end.