小波变换网文精粹：小波变换教程(十一)

小波变换网文精粹：小波变换教程(十一)

原文：ROBI POLIKAR. THE ENGINEER'S ULTIMATE GUIDE TO WAVELET ANALYSIS：The Wavelet Tutorial

网址：http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html

译文转自：http://blog.163.com/renfengyuee@126/blog/static/35943136201091273121315/

十一、连续小波变换(一)

虽然时间和频率分辨率问题是由一个物理现象（海森堡测不准原理）造成的，还是可以用另外一种叫做多分辨率分析的方法来分析信号。如同它的名字一样，用不同的分辨率分析信号的不同频率分量。每个谱分量都不是由像STFT里那样用相同的方式解决。

多分辨率分析被用来在处理高频信号中获得一个好的时间分辨率和较差的频率分辨率，低频信号中获得较好的频率分别率和较高的时间分辨率。这个方法在处理高频信号持续时间较短，低频信号持续时间较长时才有用。幸运的是，实际应用中遇到的大多数信号都满足这一点。举例来说，下面这幅图就是这样的一种。在整个信号周期内，低频分量一直存在，高频信号只在中间很短的一段时间内出现了。

图 3.1

1、连续小波变换的定义

为了解决多分辨率的问题，小波变换作为替换短时傅立叶变换的一种方法被提出来。小波分析与短时傅立叶分析采用相同的处理方法，也是用窗口的形式将一个函数与信号相乘（小波变换中这个用来相乘的函数就是小波函数），变换结果被分成在时域内不同的片段。尽管如此，连续小波变换与短时傅立叶变换还是有两个主要的不同点：

1、傅立叶变换没有采用加窗的方式，因此会在变换结果中看到相应正弦信号的尖峰，因此结果中没有负频率。

2、为计算每个单一的频谱分量，需要将窗口宽度改变，这可能是小波变换最重要的特征。

连续小波变换的定义如下：

式3.1

如上式，小波变换其实是一个含有两个自变量的函数，tau和s，分别作为平移和缩放参数。psi(t)是变换函数，叫做母小波。之所以叫做母小波，是基于小波分析的两个特征，如下所示：

这里“小波”的意思就是小的波形。满足这个条件的窗函数应该是有限宽度的（即紧支撑的），函数是振荡的。“母”这个字眼揭示了变换中用到的含有不同支撑域的函数，都可以追溯到一个主要函数——母小波。换句话说，母小波就是产生其他窗函数的原型。

“变换”这个词和在快速傅立叶变换中的变换是一样应用的。随着窗口在信号上平移，和窗口的位置相关。这个说法，在变换域内明显反映了时间信息。不过，不像之前说的短时傅立叶变换，我们没有频率参数。作为替代，我们有定义为frequency的缩放参数。频率这个词主要在STFT中使用。

2、尺度

在小波分析中用到的这个缩放参数和地图中的缩放是类似的。在地图中，尺度高就意味着没有细节，只是一个整体的视图，比例低则意味着可以看到更多的细节。类似的，在频率中，低频（高尺度）一般是对信号的全景信息（一般在整个信号周期持续），高频（低尺度）则能给出信号中更多更详细的信息。下面四幅图展示了不同比例下的余弦信号：

图 3.2

幸运的是，在实际应用中，高频信号经常持续时间很短，不像图中展示的那样，他们经常以一种短时突变或尖峰的形式出现。而低频信号则在信号的整个周期内存在。

作为一个数学运算，缩放是对信号的放大或者缩小。大的尺度意味着对信号的扩大，小的尺度意味着对信号的缩小。图中所有的信号都是用同一个正弦信号变换而得，即他们是同一个函数的不同缩放版本。在上图中，s=0.05是最小的尺度，s=1是最大的尺度。

在数学函数中，如果给出一个函数f(t)，如果s>1，f(st)就是f(t)的缩小版本，如果s<1，f(st)就是f(t)的放大版本。

尽管如此，在小波变换的定义中，缩放变量是作为分母存在的，因此，上面这些说明的相反一面就表明：s>1时是放大了信号，而s<1时则是压缩了信号。这种对缩放的解释将贯穿本文的始终。

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