小波变换网文精粹：小波变换教程(十二)

小波变换网文精粹：小波变换教程(十二)

原文：ROBI POLIKAR. THE ENGINEER'S ULTIMATE GUIDE TO WAVELET ANALYSIS：The Wavelet Tutorial

网址：http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html

译文转自：http://blog.163.com/renfengyuee@126/blog/static/35943136201091273734591/

十二、连续小波变换(二)

对上面公式的解释将在本节中进行详细说明。以x(t)作为被分析的信号。选用的小波作为信号处理中用到的所有窗函数的原型。应用的所有窗都是母小波的放大（或缩小）和平移版本。有很多函数可以满足这个条件。Morlet小波和墨西哥帽小波是其中最有代表性的，本章中后面部分中所举的例子也会用这两个小波进行小波分析。

一旦选择了母小波，就可以从s=1开始计算了，连续小波变换就是计算对应所有值的s，或者小于1，或者大于1。不过，与要分析的信号有关，一般不需要完整的变换。对所有的应用来说，信号是有带宽限制的，因此，在有限时间内做变换就经常能够满足要求了。在这篇文章里的后续部分，只用到s在有限时间内的值。

为方便起见，计算过程将会始于s=1，然后s值逐渐增大，即分析将会从高频开始，然后逐步到低频。s的第一个值是对大多数缩小的小波的反映。随着s增大，小波逐渐被放大。

小波要被放在信号的最初点，即t=0时刻。用尺度为1的小波函数与信号相乘，然后在所有时间内做积分。积分结果再乘上这个常量——1/sqrt(s)。后面这次相乘是为了使能量归一化处理而作的，其目的是使变换后的信号在任意比例上都有相同的能量。最终结果就是变换后的值，即在t=0时刻和s=1的情况下的连续小波变换。换句话说，就是在时间-尺度平面内，tau=0，s=1时刻信号的响应。

然后平移s=1时的小波值至t=tau时刻的位置，得到在时间-尺度平面内，t=tau，s=1时刻信号的响应。

重复这个过程，知道小波到达了信号的末端。这是，在时间-尺度平面内，就会得到一系列的点。

然后，将s增大一点。注意到，这是小波变换，所以tau和s都必须连续的增加。不过，如果是由计算机来进行这个变换过程，两个参数都以一个很小的步长增加。这是由于采样造成的。

对所有s值，重复上面这个过程。每一个根据给定的s计算的结果都对应时间-尺度平面内的一行。当对所应所有的s都计算完成后，对信号的连续小波变换就完成了。

下面的图说明了计算过程的每一步：

图3.3

在图3.3中，显示了在四个不同时刻tau时的信号和小波函数。信号是图3.1所示的信号的裁剪版本，对应着信号的高频部分。可以看到它多么紧凑（蓝色的窗口）。它的宽度应该与信号中最高频分量出现的时间一致。图中显示了to=2，to=40，to=90和to=140时刻小波的位置。在每一个位置，都将它与信号相乘。很明显，只有在小波的支撑域内，乘积不为0，其余部分全为0。通过在时间轴上平移小波，信号被定位在时间轴上。进一步，通过改变s的值，信号又被定为在频率范围内。

如果信号对当前的s值有一个谱分量（这个例子中s的值是1），在信号的谱分量出现的时刻，信号与小波的乘积会相当大。如果对于当前的s值，谱分量不存在，那么，乘积将会很小或为0。图3.3中，在s=1和t=100ms附近，信号中存在一个窗口宽度的频谱分量。

图3.3中，在100ms时，对信号做连续小波变换后将会产生大的结果，在其他时候则值很小。另一方面，当尺度很高时，连续小波变换将对在整个信号周期内得到一个很大的值，因为低频信号在整个周期内都存在。

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