和3D相关的一些数学概念和公式

坐标系

在不同的领域和不同的背景下，选择不同的坐标系。如传统计算机图形学选用左手坐标系，线性代数则倾向于右手坐标系

从物体坐标系转换到世界坐标系的步骤：

1、将物体坐标轴顺时针旋转45度转换到惯性坐标系；

2、将惯性坐标系向下、左平移转换到世界坐标系；

向量

向量与位置无关紧要，只有大小和方向才是最重要的。

向量变负，将得到一个和原向量大小相等、方向相反的向量。

向量加减法——三角形法则。

（多个向量相加）

减法b-a代表了从a到b的向量。

向量点乘（Dot Product）：

点乘得到一个标量。点乘结果描述了两个向量的相似程度，点积结果越大两向量越相似。

a·b	θ	角度	a和b
>0	0=<θ<90	锐角acute	方向基本相同
=0	θ==90	直角right	正交
<0	90<θ<=180	钝角obtuse	方向基本相反

零向量和其他任何向量都垂直。

向量v在向量n上的投影：v_Ⅱ，

向量叉乘（Cross Product）

叉乘不满足交换律也不满足结合律，但满足反交换律：a×b = –(b×a)。

叉乘得到的向量垂直与原来的两个分量：

a×b的长度为向量的大小与向量夹角sin值的积：

也等于以a和b为边的平行四边形的面积：

零向量和其他任何向量都平行。

矩阵

矩阵乘法：一个ｒ×ｎ的矩阵Ａ能和一个ｎ×ｃ的矩阵Ｂ相乘，得到一个ｒ×ｃ的矩阵，记为ＡＢ

任意矩阵M和一个方阵相乘，不管从哪边乘，都将得到一个与M大小相同的矩阵。单位矩阵相乘：MI=IM=M。

矩阵积的转置等于先转置再以相反的顺序乘：。

行向量左乘矩阵时，结果是行向量。列向量右乘矩阵时，结果是列向量。

矩阵——向量乘法，满足对向量加法的分配律：(v+w)M=vM+wM。

线性无关——不在同一个平面。

线性变换：满足F(a+b)=F(a)+F(b)和F(ka)=kF(a)。

映射F(a)=aM，当M为任意方阵时，说映射是一个线性变换

零向量的任意线性变换的结果仍然是零向量。线性变换不会导致平移（原点位置上不会变化）。

行列式的几何意义：2D中是以基向量为边的平行四边形的有符号面积；3D中是以基向量为边的平行六面体的有符号体积。

如果矩阵行列式为0，那么该矩阵包含投影。

如果矩阵行列式为负，那么该矩阵包含镜像。

方阵M的行列式：

代数余子式：从矩阵M中除去第i行第j列后剩下的矩阵。

矩阵的逆：M与M^-1相乘时，结果是单位矩阵I。则M^-1为M的逆。

奇异矩阵：如果一个矩阵没有逆矩阵，则称它不可逆或奇异矩阵。如果一个矩阵有逆矩阵，则称它可逆或非奇异的。

标准伴随矩阵：adj M，定义为M的代数余子式矩阵的转置矩阵。

矩阵的逆能用标准伴随矩阵除以行列式来求得：

矩阵的逆的重要性质：

如果M是非奇异矩阵，则该矩阵的逆的逆等于原矩阵：(M^-1)^-1=M.

单位矩阵的逆势它本身：I^-1=I

矩阵转置的逆等于它逆的转置：(M^T)^-1=(M^-1)^T

矩阵乘积的逆等于矩阵的逆的相反顺序的乘积：(AB)^-1= B^-1 A^-1

正交矩阵：若方阵M是正交的，则当且仅当M与它转置M^T的乘积等于单位矩阵。MM^T=I.

如果一个矩阵式正交的，那么它的转置等于它的逆：M^T= M^-1。

若一个矩阵是正交的，它必须满足：

矩阵的每一行都是单位向量。

矩阵的所有行都相互垂直。

施密特正交化

3×3矩阵仅能表达3D中的线性变换（没做平移），4×4矩阵可以构造包含平移的一般仿射变换（由一个线性变换接上一个平移组成）矩阵。如：绕不通过原点的轴旋转；沿不穿过原点的平面缩放、镜像、正交投影等；

4D齐次坐标：(x,y,z,w)第四个w为齐次坐标。通过投影得到的实际3D点为(x/w,y/w,z/w)。w=0时4D点表示“无限远点”，它描述了一个方向。

4D矩阵实现3D平移：

能将任意4×4矩阵分解为线性变换不和和平移部分：

透视投影

小孔成像

点p通过原点向平面z=-d投影的结果：

欧拉角：将方位分解成绕三个互相垂直的轴旋转。（heading：绕物体坐标(此时和惯性坐标系重合)y轴的旋转量；pitch：绕物体坐标系x轴旋转量；bank：绕物体坐标系z轴旋转量。）

也叫roll-pitch-yaw，roll类似于bank，yaw类似于heading。

四元数

四元数：[w,v]或[w,(x,y,z)]，w是标量分量；v是3D向量分量。

一个四元数定义了一个复数：w+xi+yj+zk。四元数能旋转3D中的向量。

单位四元数：[1,0]

四元数的模：

四元数插值——slerp（Spherical Linear interpolation球面线性插值）

标准线性插值：

四元数样条——squad

2Ｄ旋转矩阵：

绕任意轴（n是单位向量）旋转的3D旋转矩阵：

沿任意轴（单位向量ｎ为缩放方向，ｋ为缩放因子）的２Ｄ缩放矩阵：

沿任意轴（单位向量ｎ为缩放方向，ｋ为缩放因子）的３Ｄ缩放矩阵：

使缩放因子k=0导出投影矩阵：

向垂直于n的平面投影的3D矩阵：

使缩放因子k=-1导出镜像矩阵：

沿任意通过原点且垂直于n的反射轴的2D镜像矩阵——

沿通过原点且垂直于n的平面镜像的3D镜像矩阵——

切变：切变是一种坐标系“扭曲”变换，非均匀地拉伸它。切变的时候角度会发生变化，但面积和体积不变。

变换的组合就是利用矩阵乘法及其结合律。

几何图元

直线（Line）、线段（Line Segment）、射线（Ray）。

球（Sphere）和圆

矩形边界框：

AABB：Axially aligned bounding boxes（轴对齐矩形边界框）

OBB：oriented bounding box（方向矩形边界框）

平面（Plane）

n为平面的法向量。

三角形（Triangle）

重心（barycentric）（Center of gravity）：中线（顶点到对边中心点的连线）交点。

内心（Incenter）：到三边距离相等的点（内切圆的圆心），也是角平分线的交点。

内切圆解决了寻找与三条直线相切的圆的问题。

外心（Circumcenter）：到各顶点距离相等的点（外切圆的圆心），也是各边垂直平分线的交点。

外心和外切圆半径解决了寻找过三个点的圆的问题。

多边形（Polygons）

简单多边形、复杂多边形

自相交多边形（Self-intersecting Polygons）

凸（Convex）多边形、凹（Concave）多边形

三角分解和扇形分解

几何检测

三角网格（顶点缓存、三角带、三角扇）：顶点焊接（Welding Vertices）操作、面拆分（Detaching Faces）、边缩坍（Edge Collapse使边的两个顶点变为一个）、网格消减（Mesh Decimation）。