素数测试算法(基于Miller-Rabin的MC算法)

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UML、设计模式、算法

算法 J#D语言

在以往判断一个数n是不是素数时,我们都是采用i从2到sqrt(n)能否整除n.如果能整除,则n是合数;否则是素数.但是该算法的时间复杂度为O(sqrt(n)),当n较大时,时间性能很差,特别是在网络安全和密码学上一般都是需要很大的素数.而从目前来看,确定性算法判断素数的性能都不好,所以可以用MC概率算法来解决,其中Miller Rabin算法就是其中的很经典的解决方法.下面首先介绍下相关的数学理论.

数学原理

Fermat小定理:
若n是素数，则对所有1≤a≤n-1的整数a，有a^(n-1)mod n=1;

该定理的逆否命题也成立,即a^(n-1)mod n!=1,则n为合数.但是费马定律的逆命题就不一定成立了,比如当a=4,n=15时,4^14mod15=1,但是4不是素数而是合数.

Fermat(n) {
      a ←uniform(1..n-1);
      if     a^(n-1)modn=1   then
      return true; //未必正确
      else
      return false；//正确，一定是合数
}

不过,从大量数据统计来看,如果满足a^(n-1)mod n=1,则n较大概率为素数.那么,我们把那些使得n原本为合数而被看成素数的a叫做伪证据,n为伪素数.同样从大量数据看出有些伪素数n有很多伪证据 a,比如当n=561,a有318个可使得结果判为素数.所以,我们定义了强伪素数概念:

强伪素数
设n是一个大于4的奇整数，s和t是使得(n-1)=2^s*t的正整数，其中t为奇数，设B(n)是如下定义的整数集合：
a属于集合B(n)当且仅当2≤a≤n-2且

1: a^tmodn=1
2: 存在整数i，0<=i<s满足a^((2^i)*t) mod n=n-1
当n为素数时，任意a在2和n-1中，均有a属于集合B(n)
当n为合数时，若a属于集合B(n)，则称n为一个以a为底(基)的强伪素数，称a为n素性的强伪证据。
n为素数，说明它对所有底均为强伪素数

Btest(a，n){
//n为奇数，返回true。即返回真说明n是强伪素数
   s←0； t ←n-1； //t开始为偶数
     repeat
         s++；t ← t÷2；
   until t mod 2 = 1； //n-1=2st     t为奇数
          x ←at mod n；
   if x=1 or x=n-1 then return true；    //满足①or②。
   for i ←1 to s-1 do{
         x ←x2 mod n；
         if x=n-1 then return true； //满足②，
   }
   return false；}

通过这一定义则发现,小于1000的奇合数中，随机选到一个强伪证据的概率小于1%
更重要的是，对任一奇合数，强伪证据比例都很小
所以,我们可以多次运行下面的算法,就可把错误概率降低我们可控制的范围

MillRab(n) { //奇n>4，返回真时表示素数，假表示合数
a←uniform(2..n-2);
return Btest(a,n); //测试n是否为强伪素数
}//该算法是3/4-正确，偏假的。

RepeatMillRob(n,k){
      for i ←1 to k do
    if MillRob(n) =false then
     return false; //一定是合数
    return true；
}

则判断错误概率为(1/4)^k,正确的为1-(1/4)^k.当k取一定值时,判断正确的概率可高度99.99%.

实行源代码(用C++语言)

Miller-Rabin法

#include"iostream.h"
#include"time.h"
#include"stdlib.h"
#include"math.h"

class judge_prime
{
private:

public:

   int Btest(int a,int n);
   int MillRab(int n);
   int RepeatMillRab(int n,int k);
};

int judge_prime:: Btest(int a,int n)
{
int s=0;
int t=n-1;
int i=1;
int x=1;
int y;
do
{
   s++;
   t=t/2;
}while((t%2)!=1);
while(i<=t)
{
   x=(x*a)%n;
   i++;

}
if((x==1)||(x==n-1))return 1;
for(int j=1;j<=s-1;j++)
{
   y=1;
   for(int k=1;k<=j;k++)
   {
    y=2*y;
   }
   i=1;
   x=1;
   while(i<=(y*t))
   {
    x=(x*a)%n;
    i++;
   }
   if(x==n-1)return 1;
}
return 0;

}
int judge_prime::MillRab(int n)
{
int a;
srand((unsigned)time(0));
a=rand()%(n-3)+2;
return Btest(a,n);
}
int judge_prime::RepeatMillRab(int n,int k)
{
int i;
for(i=1;i<=k;i++)
{
   if(MillRab(n)==0)return 0;
}
return 1;
}
int main()
{
int i;
int n=10000;
int result=0;
cout<<2<<" "<<3<<" ";
for(i=5;i<=n;)
{
   judge_prime P;
   if(P.RepeatMillRab(i,(int)log10(i)))
    cout<<i<<" ";
   i=i+2;
}
return 0;

}//具体的解释就不说了,全在上面的理论中.

原始算法(C语言)

#include"stdio.h"
#include"math.h"
int main()
{
int i;
int j;
int n=10000;
for(i=2;i<=n;i++)
{
   for(j=2;j<=(int)sqrt(i);j++)
   {
    if(i%j==0) break;
   }
   if(j>(int)sqrt(i))
    printf("%d ",i);

}
return 0;

测试数据(我们用10000以内的数)

Miller-Rabin算法得到的结果为:

2 3 5 7 9 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103
107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211
223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331
337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449
457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587
593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 697 701
703 709 719 721 727 733 739 743 751 757 761 769 773 781 787 797 809 811 821 823
827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967
971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069
1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193
1201 1213 1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301
1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373 1381 1399 1409 1417 1423 1427 1429 1433
1439 1447 1451 1453 1459 1471 1481 1483 1487 1489 1493 1499 1511 1523 1531 1543
1549 1553 1559 1567 1571 1579 1583 1597 1601 1607 1609 1613 1619 1621 1627 1637
1657 1663 1667 1669 1693 1697 1699 1709 1721 1723 1733 1741 1747 1753 1759 1777
1783 1787 1789 1801 1811 1823 1831 1847 1861 1867 1871 1873 1877 1879 1889 1901
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3449 3457 3461 3463 3467 3469 3491 3499 3511 3517 3527 3529 3533 3539 3541 3547
3557 3559 3571 3581 3583 3593 3607 3613 3617 3623 3631 3637 3641 3643 3659 3671
3673 3677 3691 3697 3701 3709 3719 3727 3733 3739 3761 3767 3769 3779 3793 3797
3803 3821 3823 3833 3847 3851 3853 3863 3877 3881 3889 3907 3911 3917 3919 3923
3929 3931 3943 3947 3967 3989 4001 4003 4007 4013 4019 4021 4027 4049 4051 4057
4073 4079 4091 4093 4099 4111 4127 4129 4133 4139 4141 4153 4157 4159 4177 4201
4211 4217 4219 4229 4231 4241 4243 4253 4259 4261 4271 4273 4283 4289 4297 4327
4337 4339 4349 4357 4363 4373 4391 4397 4409 4421 4423 4441 4447 4451 4457 4463
4481 4483 4493 4507 4513 4517 4519 4523 4547 4549 4561 4567 4583 4591 4597 4603
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4909 4919 4931 4933 4937 4943 4951 4957 4967 4969 4973 4987 4993 4999 5003 5009
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5711 5717 5737 5741 5743 5749 5779 5783 5791 5801 5807 5813 5821 5827 5839 5843
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5987 6007 6011 6029 6037 6043 6047 6053 6067 6073 6079 6089 6091 6101 6113 6121
6131 6133 6143 6151 6163 6173 6197 6199 6203 6205 6211 6217 6221 6229 6247 6257
6263 6269 6271 6277 6287 6299 6301 6311 6317 6323 6329 6337 6343 6353 6359 6361
6367 6373 6379 6389 6397 6421 6427 6449 6451 6469 6473 6481 6491 6521 6529 6547
6551 6553 6563 6569 6571 6577 6581 6599 6607 6619 6637 6653 6659 6661 6673 6679
6689 6691 6701 6703 6709 6719 6733 6737 6761 6763 6779 6781 6791 6793 6803 6823
6827 6829 6833 6841 6857 6863 6869 6871 6883 6899 6907 6911 6917 6947 6949 6959
6961 6967 6971 6977 6983 6991 6997 7001 7013 7019 7027 7039 7043 7057 7069 7079
7103 7109 7121 7127 7129 7151 7159 7177 7187 7193 7207 7211 7213 7219 7229 7237
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7963 7993 8009 8011 8017 8039 8053 8059 8069 8081 8087 8089 8093 8101 8111 8117
8123 8147 8161 8167 8171 8179 8191 8209 8219 8221 8231 8233 8237 8243 8263 8269
8273 8287 8291 8293 8297 8311 8317 8329 8353 8363 8369 8377 8387 8389 8419 8423
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9419 9421 9431 9433 9437 9439 9461 9463 9467 9473 9479 9491 9497 9511 9521 9533
9539 9547 9551 9587 9601 9613 9619 9623 9629 9631 9643 9649 9661 9677 9679 9689
9697 9719 9721 9733 9739 9743 9749 9767 9769 9781 9787 9791 9803 9811 9817 9829
9833 9839 9851 9857 9859 9871 9883 9887 9901 9907 9923 9929 9931 9941 9949 9967
9973

用原始的算法得到的结果为:

我用了比较算法(如下)发现,两个结果相同,也就是说概率算法完全正确,没有一个错误,100%成功.

#include"stdio.h"
#include"stdlib.h"
int get(FILE *P)
{
char buffer[5];
int data=0;
char c;
int i=0;
while(((c=fgetc(P))!=' ')&&(c!=EOF)&&(c!='\n'))
{
   buffer[i]=c;
   i++;
}
buffer[i]='\0';
data=atoi(buffer);
return data;
}
int main()
{
FILE *P1;
FILE *P2;
int data1=1;
int data2=1;
if((P1=fopen("D:\\p1.txt","r"))==NULL)
{
   printf("can't open file p1");
   exit(0);
}
if((P2=fopen("D:\\p2.txt","r"))==NULL)
{
   printf("can't open file p2");
   exit(0);
}
do
{
   if(data1==data2)
   {
    data1=get(P1);
    data2=get(P2);
   }
   if(data1<data2)
   {
    printf("%d ",data1);
    data1=get(P1);
   }
}while(data1!=0);
fclose(P1);
fclose(P2);
return 0;
}

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海明码的初识 | 浅析求素数算法

2010-10-19 15:26
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