回溯法

原文：http://leihong511.blog.163.com/blog/static/47256469200962353650348/

如果上期的“百钱买百鸡”中鸡的种类数是变化的，用枚举法就无能为力了，这里介绍另一种算法——回溯法。

回溯法是一种既带有系统性又带有跳跃性的搜索法，它的基本思想是：在搜索过程中，当探索到某一步时，发现原先的选择达不到目标，就退回到上一步重新选择。它主要用来解决一些要经过许多步骤才能完成的，而每个步骤都有若干种可能的分支，为了完成这一过程，需要遵守某些规则，但这些规则又无法用数学公式来描述的一类问题。下面通过实例来了解回溯法的思想及其在计算机上实现的基本方法。

例1、从N个自然数(1,2,…,n)中选出r个数的所有组合。

算法分析：设这r个数为a1,a2,…ar,把它们从大到小排列，则满足：

（1）    a1>a2>…>ar;

（2）    其中第i位数(1<=i<=r)满足ai>r-i;

我们按以上原则先确定第一个数，再逐位生成所有的r个数，如果当前数符合要求，则添加下一个数;否则返回到上一个数，改变上一个数的值再判断是否符合要求，如果符合要求，则继续添加下一个数，否则返回到上一个数，改变上一个数的值……按此规则不断循环搜索，直到找出r个数的组合，这种求解方法就是回溯法。

如果按以上方法生成了第i位数ai，下一步的的处理为：

（1）    若ai>r-i且i=r，则输出这r个数并改变ai的值:ai=ai-1;

（2）    若ai>r-i且i≠r，则继续生成下一位ai+1=ai-1;

（3）    若ai<=r-i，则回溯到上一位，改变上一位数的值:ai-1=ai-1-1;

算法实现步骤：

第一步：输入n,r的值，并初始化；  i:=1;a[1]:=n;

第二步：若a[1]>r-1则重复：

若a[i]>r-i，①若i=r，则输出解，并且a[i]:=a[i]-1;

②若i<>r，则继续生成下一位：a[i+1]:=a[i]-1; i:=i+1;

若 a[i]<=r-i，则回溯：i:=i-1; a[i]:=a[i]-1;

第三步：结束；

程序实现

var  n,r,i,j:integer;

 a:array[1..10] of integer;

begin

  readln(n,r);i:=1;a[1]:=n;

  repeat

    if  a[i]>r-i  then {符合条件 }

      if i=r  then  {输出}

begin

for j:=1 to r do write(a[j]:3);

writeln;

        a[i]:=a[i]-1;

      end

else {继续搜索}

begin a[i+1]:=a[i]-1; i:=i+1;end

    else{回溯}

      begin  i:=i-1; a[i]:=a[i]-1;end;

  until  a[1]=r-1;

end.

下面我们再通过另一个例子看看回溯在信息学奥赛中的应用。

例2 数的划分（noip2001tg）

问题描述 整数n分成k份，且每份不能为空，任意两份不能相同(不考虑顺序)。

例如：n=7，k=3，下面三种分法被认为是相同的。

1，1，5;    1，5，1;    5，1，1;

问有多少种不同的分法。

输入：n，k      (6<n<=200，2<=k<=6)

输出：一个整数，即不同的分法。

样例

输入：  7   3

输出：4   {四种分法为：1,1,5; 1,2,4; 1,3,3; 2,2,3;}

算法分析：此题可以用回溯法求解，设自然数n拆分为a1,a2,…,ak,必须满足以下两个条件：

（1）    n=a1+a2+…+ak  ；

（2）    a1<=a2<=…<=ak  (避免重复计算)；

现假设己求得的拆分数为a1,a2,…ai,且都满足以上两个条件,设sum=n-a1-a2-…-ai,我们根据不同的情形进行处理：

（1）    如果i=k,则得到一个解，则计数器t加1，并回溯到上一步，改变ai-1的值；

（2）    如果i<k且sum>=ai,则添加下一个元素ai+1；

（3）    如果i<k且sum<ai,则说明达不到目标，回溯到上一步，改变ai-1的值；

算法实现步骤如下：

第一步：输入自然数n,k并初始化；t:=0; i:=1;a[i]:=1; sum:=n-1; nk:=n div k;

第二步：如果a[1]<=nk 重复：

若i=k，搜索到一个解，计数器t=t+1;并回溯；

否则：①若sum>=a[i]则继续搜索；

②若sum<a[i]则回溯；

搜索时，inc(i);a[i]:=a[i-1];sum:=sum-a[i];

回溯时，dec(i); inc(a[i]); sum:=sum+a[i+1]-1;

第三步：输出。

程序如下：

var

  n,nk,sum,i,k:integer;

  t:longint;

  a:array[1..6]of integer;

begin

  readln(n,k);

  nk:=n div k;

  t:=0; i:=1;a[i]:=1; sum:=n-1;{初始化}

  repeat

if i=k then{判断是否搜索到底}

begin  inc(t); dec(i);inc(a[i]); sum:=sum+a[i+1]-1; end {回溯}

    else begin

if sum>=a[i] then {判断是否回溯}

begin inc(i);a[i]:=a[i-1];sum:=sum-a[i];end{继续搜}

      else begin dec(i); inc(a[i]); sum:=sum+a[i+1]-1; end;{回溯}

    end;

  until a[1]>nk;

  writeln(t);

end.

 

回溯法是通过尝试和纠正错误来寻找答案，是一种通用解题法，在NOIP中有许多涉及搜索问题的题目都可以用回溯法来求解