[动态规划] 数字三角形问题（一维数组实现）

数字三角形问题：一个数字三角宝塔。设数字三角形中的数字为不超过100的正整数。现规定从最顶层走到最底层，每一步可沿左斜线向下或右斜线向下走。假设三角形行数小于等于100.编程求解从最顶层走到最底层的一条路径，使得沿着该路径所经过的数字的总和最大，输出最大值。

例如一个行数为5的三角形如下：
               7
             3   8
           8   1   0
         2   7   7   4
       5   5   2   6   5


这一个问题，很容易想到用枚举的方法去解决，即列举出所有路径并记录每一条路径所经过的数字总和。然后寻找最大的数字总和，这一想法很直观，也比较容易实现。不过，缺点是：当行数很大时，比如行数等于100，其枚举量是相当巨大的。

这是一个多阶段决策性的问题--> 最优路径上的每一个数字开始的向下的路径也是该数字到最下层的最优路径，符合最优化原理，可以考虑用动态规划的方法实现。

本文采用一维数组去求解数字三角形问题，并用上述行数为5的三角形作为实例来求解。

/**
 * 
 * @author Eric
 *
 */
public class TriangleProblem {

	/**
	 * 使用一维数组结合动态规划思想求解数字三角形问题。
	 * @param array 存储三角形数字的一维数组(从上到下，从左到右存储)
	 * @param n 数字三角形的行数
	 * @return 返回一个经过路径的数字的总和最大值
	 */
	public int populateMaxSum(int[] array, int n) {
		int[] result = new int[array.length];
		
		for (int row = 0; row < n; row++) {
			if (row == 0) {
				/*
				 * 设置定点的值 
				 */
				result[0] = array[0];
			} else {
				int rowStartIndex = populateStartRowIndex(row);
				
				/*
				 * 设置第row行第一个位置到顶点的最大值只有一个。
				 * 直接赋值。
				 */
				result[rowStartIndex] = array[rowStartIndex]
						+ result[rowStartIndex - row];

				for (int col = 1; col <= row; col++) {
					
					if (col < row) {
						/*
						 * 处理到顶点的数值有两个节点的位置，
						 * 取大的那一个。
						 */
						result[rowStartIndex + col] = max(result[rowStartIndex
								- row + col - 1]
								+ array[rowStartIndex + col],
								array[rowStartIndex + col]
										+ result[rowStartIndex - row + col]);
					} else {
						
						/*
						 * 每行最右边的的位置到顶点的最大值也只有一个。
						 * 此时 row == col
						 * 直接赋值。
						 */
						result[rowStartIndex + col] = result[rowStartIndex
								- row + col - 1]
								+ array[rowStartIndex + col];
					}

				}
			}
		}
		/*
		 * 当所有的位置到顶点的位置都计算出来之后，
		 * 要计算出最大值，只要计算最大行中最大值即可。
		 * 
		 */
		return max(populateStartRowIndex(n - 1), result);
	}

	/**
	 * 根据一个指定的行号，计算出在一维数组中对应的下标，最为该行的起始下标
	 * @param row 行号(从0开始)
	 * @return
	 */
	private int populateStartRowIndex(int row) {
		int sum = 0;
		for (int i = 0; i <= row; i++) {
			sum += i;
		}
		return sum;
	}

	private int max(int startIndex, int[] array) {
		int max = array[startIndex];

		for (int i = startIndex; i < array.length; i++) {
			if (array[i] > max) {
				max = array[i];
			}

		}
		return max;
	}

	private int max(int v1, int v2) {
		return (v1 > v2) ? v1 : v2;
	}
}

测试代码==>

public class Main {

	public static void main(String[] args) {
		TriangleProblem tp = new TriangleProblem();
		int[] array = { 7, 3, 8, 8, 1, 0, 2, 7, 4, 4, 4, 5, 2, 6, 5 };
		System.out.printf("最大和为 SUM=%d", tp.populateMaxSum(array, 5));
	}
}

输出结果==>
最大和为 SUM=30

当然，我们可以将三角形中的数据保存到文件中，然后读取文件的内容，再将这些数字初始化到一维数组中去，这里就不再展开。

比如，将三角形数据存在到一个txt文件中，数字之间用空格隔开7
3 8
8 1 0
2 7 7 4
5 5 2 6 5
... ...

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