数据结构--归并排序

归并排序(Merge Sort)是利用"归并"技术来进行排序。归并是指将若干个已排序的子文件合并成一个有序的文件。

两路归并算法

1、算法基本思路
    　设两个有序的子文件(相当于输入堆)放在同一向量中相邻的位置上：R[low..m]，R[m+1..high]，先将它们合并到一个局部的暂存向量R1(相当于输出堆)中，待合并完成后将R1复制回R[low..high]中。

（1）合并过程
    　合并过程中，设置i，j和p三个指针，其初值分别指向这三个记录区的起始位置。合并时依次比较R[i]和R[j]的关键字，取关键字较小的记录复制到R1[p]中，然后将被复制记录的指针i或j加1，以及指向复制位置的指针p加1。
    　重复这一过程直至两个输入的子文件有一个已全部复制完毕(不妨称其为空)，此时将另一非空的子文件中剩余记录依次复制到R1中即可。

（2）动态申请R1
    　实现时，R1是动态申请的，因为申请的空间可能很大，故须加入申请空间是否成功的处理。

2、归并算法
 

void Merge(SeqList R，int low，int m，int high)
    {//将两个有序的子文件R[low..m)和R[m+1..high]归并成一个有序的
     //子文件R[low..high]
     int i=low，j=m+1，p=0； //置初始值
     RecType *R1； //R1是局部向量，若p定义为此类型指针速度更快
     R1=(ReeType *)malloc((high-low+1)*sizeof(RecType))；
     if(! R1) //申请空间失败
       Error("Insufficient memory available!")；
     while(i<=m&&j<=high) //两子文件非空时取其小者输出到R1[p]上
       R1[p++]=(R[i].key<=R[j].key)?R[i++]：R[j++]；
     while(i<=m) //若第1个子文件非空，则复制剩余记录到R1中
       R1[p++]=R[i++]；
     while(j<=high) //若第2个子文件非空，则复制剩余记录到R1中
       R1[p++]=R[j++]；
     for(p=0，i=low；i<=high；p++，i++)
       R[i]=R1[p]；//归并完成后将结果复制回R[low..high]
    } //Merge

2、自顶向下的方法
     采用分治法进行自顶向下的算法设计，形式更为简洁。

（1）分治法的三个步骤
     设归并排序的当前区间是R[low..high]，分治法的三个步骤是：
①分解：将当前区间一分为二，即求分裂点
                 
②求解：递归地对两个子区间R[low..mid]和R[mid+1..high]进行归并排序；
③组合：将已排序的两个子区间R[low..mid]和R[mid+1..high]归并为一个有序的区间R[low..high]。
  递归的终结条件：子区间长度为1（一个记录自然有序）。

（2）具体算法
   

void MergeSortDC(SeqList R，int low，int high)
     {//用分治法对R[low..high]进行二路归并排序
       int mid；
       if(low<high){//区间长度大于1
          mid=(low+high)/2； //分解
          MergeSortDC(R，low，mid); //递归地对R[low..mid]排序
          MergeSortDC(R，mid+1，high)； //递归地对R[mid+1..high]排序
          Merge(R，low，mid，high)； //组合，将两个有序区归并为一个有序区
        }
     }//MergeSortDC

（3）算法MergeSortDC的执行过程
     算法MergeSortDC的执行过程如下图所示的递归树。
    

二、算法分析

1、稳定性
     　归并排序是一种稳定的排序。

2、存储结构要求
    　可用顺序存储结构。也易于在链表上实现。

3、时间复杂度
    　对长度为n的文件，需进行 趟二路归并，每趟归并的时间为O(n)，故其时间复杂度无论是在最好情况下还是在最坏情况下均是O(nlgn)。

4、空间复杂度
   　 需要一个辅助向量来暂存两有序子文件归并的结果，故其辅助空间复杂度为O(n)，显然它不是就地排序。
  注意：
    　若用单链表做存储结构，很容易给出就地的归并排序。具体【参见练习】。
算法程序

void Merge(int[],int low,int high,int m)
//将两个有序的子文件R[low..m)和R[m+1..high]归并成一个有序的
//子文件R[low..high]
{
 int i=low;
 int j=m+1;
 int p=0;
 int r[10];
 while((i<=m)&&(j<=high))
 {
  if(a[i]<a[j])
  {
   r[p]=a[i];i++;p++;
  }
  else
  {
   r[p]=a[j];j++;p++;
  }
 }
 if(i>m)while(j<=high){r[p]=a[j];j++;p++;}
 else while(i<=m){r[p]=a[i];i++;p++;}
 p=0;

 for(i=low;i<=high;i++)
 {
  a[i]=r[p];
  p++;
 }

}
void MergePass(int [],int length,int n)
     { //对R[1..n]做一趟归并排序
      int i;
      for(i=0;i+2*length-1<n;i=i+2*length)
      Merge(a,i,i+2*length-1,i+length-1);
           //归并长度为length的两个相邻子文件
      if(i+length-1<n) //尚有两个子文件，其中后一个长度小于length
    Merge(a,i,n-1,i+length-1); 

  }//归并最后两个子文件
      //注意：若i≤n且i+length-1≥n时，则剩余一个子文件轮空，无须归并
  //MergePass


 void MergeSort(int [],int n)
   {//采用自底向上的方法，对R[1..n]进行二路归并排序
     int length;
     for(length=1;length<=n;length=2*length) //做 趟归并
        MergePass(a,length,n); //有序段长度≥n时终止
   }