LOD地形设计（四）

（一）世界坐标系向观察坐标系的转换 假如任何形体都放在世界坐标系中，那么计算是相当复杂的，为了简化计算，我们需要把形体从世界坐标系转到观察坐标系中。观察坐标系的原点在是世界坐标系的位置为Eye，Z轴与观察方向一致（从Eye出发到At点的向量）如图4-1所示： 图4-1 假设观察坐标系的坐标轴分别以单位向量xaxis,yaxis,zaxis,则： xaxis= normal (At-Eye); yaxis= normal (cross(Up,zaxis)); zaxis= normal (zaxis,xaxis); 假设世界坐标系中任意一点P的坐标（x,y,z）,在观察坐标系中的坐标（x'，y'，z'）。 x' = (P-Eye)* xaxis = x*xaxis.x + y* xaxis.y + z * xaxis.z - xaxis*Eye y' = (P- Eye)*yaxis = x*yaxis.x + y* yaxis.y + z * yaxis.z - yaxis*Eye z'= (P- Eye)*zaxis = x*zaxis.x + y* zaxis.y + z * zaxis.z - zaxis*Eye (x',y',z',1) = (x,y,z,1)* 所以从世界坐标系向观察坐标系变换的矩阵为 （二）齐次裁剪透视投影变换 真实的物体是三维的，但是计算机屏幕是二维的，必须把三维物体投影到屏幕平面上，而且还要保存深度信息，这个变换过程称为投影变换，如图4-2所示 图4-2 假设视截体Y方向的张角fov，近平面Zn，远平面的Zf，近平面的宽高比aspect，现在可以直到近平面的方程z=Zn，远平面 z=Zf。 图4-3 由图4-3可以看出，视截体的顶面方程为y=z*tan(fov/2);底面方程=-z*tan（fov/2）；视截体的右侧面x=cot(fov/2)*aspect*z. 左侧面方程x=-cot(fov/2)*aspect*z. 首先寻求把顶面y = z*tan(fov/2) 转换为y'=1,y'=k*y ,k=cot(fov/2)*y/z就是满足条件的变换，底面变换也是这个表达式。 右侧面x = cot(fov/2)*aspect*z,转换为x'=1, x'=p*x, 从而p=（tan(fov/2)/aspect)/z(左侧面表达式相同). 最后寻求把近平面Zn转换为z'=0;Zf转换为z'=1. z'= r*z + s.于是r* Zn + s =0,r*Zf + s =1,由此求出 r= /(Zf-Zn), s= -Zn/(Af-Zn). 透视投影变换矩阵= （三）视截体平面的计算 根据模型变换矩阵和投影变换矩阵，可以计算出视截体的6个平面。世界坐标系中的视截体在模型变换和透视投影变换后，成为观察坐标系中的[-1,1]*[-1,1]*[0,1]。设模型变换A，投影变换B，M=A*B,视截体的方程:ax+by+cz+d=0。该平面在观察坐标系中的形式为a'x'+b'y'+c'z'+d'=0. (x',y',z',1) = (x,y,z,1)M (x,y,z,1)(a,b,c,d)(转置)=0 (x',y',z',1)(a',b',c',d')(转置) = 0 可得：（x,y,z,1）M(a',b',c',d')(转置) = 0 （a,b,c,d）(转置)= M (a',b',c',d')（转置） a=M11a'+M12b'+M13c'+M14d' b=M21a'+M22b'+M23c'+M24d' c=M31a'+M32b'+M33c'+M34d' d=M41a'+M42b'+M43c'+M44d' 视截体的6个平面的法向量均指向视截体内部，视截体的左侧面leftplane 观察坐标系中的左侧面x+1=0 ，代入上式可得视截体左侧面的系数 a=M11+M14 b=M21+M24 c=M31+M34 d=M41+M44 右侧面的方程1-x=0;系数 a=M14-M11 b=M24-M21 c=M34-M31 d=M44-M41 同理：顶面系数 a=M14-M12 b=M24-M22 c=M24-M32 d=M44-M42 底面系数 a=M12+M14 b=M22+M24 c=M32+M34 d=M42+M44 近平面系数： a=M13 b=M23 c=M33 d=M43 远平面系数： a=M14-M13 b=M24-M23 c=M34-M33 d=M44-M43 上述内容是涉及视截体计算的数学基础，下一节实战视截体编程！