蚂蚁爬橡皮筋问题 之一

一条可以均匀拉伸无限拉伸的橡皮筋，初始长度为1米，一个累不死的蚂蚁，从橡皮筋的一端爬到另一端，蚂蚁爬行速度为1厘米每秒，橡皮筋拉伸的速度为10厘米每秒！问：蚂蚁可以爬到橡皮的另一端吗？如果可以要用多久的时间！

 

给人的第一感觉是，蚂蚁不会到达终点，因为它每秒只能爬行1cm，而橡皮筋的伸缩为10cm/s，蚂蚁速度完全赶不上橡皮筋膨胀速度，随着时间消逝，蚂蚁只会离终点越来越远；但再仔细一想，橡皮筋每向前爬行1cm，那么膨胀带给它的影响便小一点，也就是说蚂蚁远离终点的速率会略微小一点；尽管这个影响很小很小，但如果经常很长很长的时间后呢？会不会使得蚂蚁所在点的质点膨胀速度小于蚂蚁的速度？也就是会开始朝着终点移动，离终点越来越近？有没有这种可能呢？

有点感觉像极限。

首先推公式推了半天，都没推出啥东西来！

我想，经过时间t后，蚂蚁爬行t后达到位置x(假设x为蚂蚁距离终点的长度)，此刻在位置x的速度应该为

1(蚂蚁本身速度) - ( x/(100+10*t) ) * 10 ( 蚂蚁所在质点相对终点的膨胀速度)

列出公式就是

(啊，这个写错了，下面是100+10t...阿弥陀佛......)

 

化简一下就是这样子：

 

这下子没折了，不知道咋办了，傻眼了。

又推了一些，好像没啥用。于是想用matlab模拟了一下。

还是蛮简单。就是一步一步的模拟蚂蚁与橡皮筋的移动。

跑了一下，蚂蚁果然可以达到终点。 下面是速度的效果图。

很明显可以看到，蚂蚁相对终点的速度首先是负的，速率逐渐减小，越过边界0，然后又逐渐增大。显然，如果速度能够超过0，那么蚂蚁是能够到达终点的。蚂蚁相对终点的距离图如下：

下面是修改蚂蚁速度,橡皮筋膨胀速度,和橡皮筋长度后的速度图和距离图。具体就不解释了。

对比起来很明显了：

蚂蚁相对速率像一个log函数

蚂蚁相对终点距离像一个二次函数

如果蚂蚁速度越大，蚂蚁相对速率越过0边界时间越短，最终花费时间总时间也越短；

橡皮筋膨胀速度越大，蚂蚁相对速率越过0边界时间越短，最终花费时间越长。

橡皮长度越长。。。也一样

感觉：曲线变化速度对蚂蚁速度最敏感，橡皮筋膨胀速度次之，橡皮筋长度再次之；也就是说蚂蚁速度是最重要的。微小的增加蚂蚁速度可以显著的减少到达终点的时间。

 

没理论推导。

根据这几个对比图，可以估计出 速度 与 距离 函数么？晚了，睡觉了。明天再想想看。

 

参数：橡皮筋长度100cm,橡皮筋膨胀速度10cm/s，改变蚂蚁速度

 

参数：橡皮筋长度100cm,蚂蚁速度2cm/s，改变橡皮筋膨胀速度

 

参数：橡皮筋膨胀速度10cm/s,蚂蚁速度2cm/s，改变橡皮筋膨胀速度

matlab模拟代码(Matlab7.01)，可以跑来试试。

1. % 一条可以均匀拉伸无限拉伸的橡皮筋，初始长度为1米，一个累不死的蚂蚁，从
2. % 橡皮筋的一端爬到另一端，蚂蚁爬行速度为1厘米每秒，橡皮筋拉伸的速度为10
3. % 厘米每秒！问：蚂蚁可以爬到橡皮的另一端吗？如果可以要用多久的时间！
5. % ants.m
7. iniLen = 100;    % 橡皮筋初始长度为1米
8. iniSS = 10;      % 橡皮筋拉伸的速度为10厘米每秒
10. as = 1;          % 蚂蚁爬行速度
12. x = iniLen;      % 橡皮筋长度 = 初始长度 + 拉伸速度 * 时间
13. y = iniLen;      % 蚂蚁距离终点长度
14. v = 0;           % 蚂蚁 即时速度
16. pLen = 2000;
17. im = zeros(1,pLen);
18. vm = zeros(1,pLen);
19. ym = zeros(1,pLen);
21. sec = 0;
22. index = 1;
23. for i = 1:500000 % 模拟秒数
24.     div = 10000;  % 模拟将1s划分的片段
25.     for j = 1:div 
26.         dt = 1.000 / div;       % 模拟时间片
27.         ev = ( y / x ) * iniSS; % 蚂蚁所在质点膨胀速度
28.         v = as - ev;            % 蚂蚁相对终点速度
29.         y = y - v * dt;         % 更新蚂蚁距离终点长度
30.         x = x + dt*iniSS;       % 更新橡皮筋长度
31.     end
32.     tmp = mod(i,100);
33.     if( tmp == 0 || y < 1 )
34.         im(index) = i;
35.         vm(index) = v;
36.         ym(index) = y;
37.         index = index+1;
38.     end
39.     
40.     if( y < 0 )      % 蚂蚁已越过终点
41.         sec = i-1
42.         break;
43.     elseif( y == 0 ) % 蚂蚁恰好到达终点
44.         sec = i
45.         break;
46.     end
47. end
48. im(find(im==0))=[];
49. vm(find(vm==0))=[];
50. ym(find(ym==0))=[];
52. figure(1),
53. grid on,hold on,
54. plot(im,vm,'r-');
55. xlabel(strcat('秒数(橡皮拉伸速度=',num2str(iniSS),'cm/s, 蚂蚁速度=',num2str(as),'cm/s, 费时',num2str(sec),'s)'));
56. ylabel('蚂蚁相对终点速度');
57. legend('蚂蚁相对终点速度');
58. plot(im,zeros(1,length(im)),'m-');
60. figure(2),
61. grid on,hold on,
62. plot(im,ym,'b-');
63. plot(im,zeros(1,length(im)),'m-');
64. xlabel(strcat('秒数(橡皮拉伸速度=',num2str(iniSS),'cm/s, 蚂蚁速度=',num2str(as),'cm/s, 费时',num2str(sec),'s)'));
65. ylabel('蚂蚁相对终点距离');
66. legend('蚂蚁相对终点距离');