蚂蚁爬橡皮筋问题 之二

昨天想的是蚂蚁爬行的绝对距离，晚上睡觉的时候突然想到，可以用蚂蚁爬行相对橡皮筋的比例来计算。
比如说，蚂蚁爬行到了距离终点x的距离，那么只需要再爬行x/l(l为橡皮筋长度)比例的橡皮筋，那么就必定可以到达终点。
按照这个比例的想法，可以比较容易的确定蚂蚁爬行橡皮筋比例的上界与下界。
假设橡皮筋初始长度为l,蚂蚁爬行速度为v1,橡皮筋膨胀速度为v2
将蚂蚁爬行与橡皮筋膨胀两个过程分开
情形1：
假设蚂蚁先爬行，蚂蚁爬行的时候橡皮筋停止膨胀，爬行完毕后橡皮筋再膨胀，膨胀过程中蚂蚁停止
则1轮后，蚂蚁爬行的总距离占整个橡皮筋比例为 v1/l
  2轮后，蚂蚁爬行的总距离占整个橡皮筋比例为 v1/(l+v2)
  ..........
  n轮后，蚂蚁爬行的总距离占整个橡皮筋比例为 v1/(l+n*v2)
  也就是说n秒后，蚂蚁爬行的距离占整个橡皮筋的比例为：

 

情形2：
假设橡皮筋先膨胀，膨胀过程中蚂蚁停止爬行，膨胀完毕后蚂蚁开始爬行，蚂蚁爬行的时候橡皮筋停止膨胀
则1轮后，蚂蚁爬行的总距离占整个橡皮筋比例为 v1/(l+v2)
  2轮后，蚂蚁爬行的总距离占整个橡皮筋比例为 v1/(l+2*v2)
  ..........
  n轮后，蚂蚁爬行的总距离占整个橡皮筋比例为 v1/(l+(n+1)*v2)
  也就是说n秒后，蚂蚁爬行的距离占整个橡皮筋的比例为：

显然。蚂蚁在橡皮筋上面爬行的比例应该介于两者之间。

蚂蚁能否爬到终点就是比较s与1的大小。其实只要比较小的那个s2与1的大小就可以了。如果s2能够超过1，那么蚂蚁就能够爬到终点。s2感觉像一个有穷级数，而且，根据前面的模拟实验，这个级数应该是发散的。

问题是，该怎么求这个级数？？？

有待进一步的探讨。数学太磋了。

 

续：直接积分，按蚂蚁爬行距离占橡皮筋比例来讨论

假设经过时间t后，蚂蚁到达位置s，此时橡皮筋长度为L=l+v2t。由时间t经过时间dt后，蚂蚁爬行的距离为v1dt，由于时间短很小，因此可假定橡皮筋还来不及拉伸，在这段极短的时间dt内，蚂蚁爬行的距离占整个橡皮长度的比例为：

因此，因此，可以计算得经过时间t后，蚂蚁爬行占橡皮筋比例为：

 

即：

 

蚂蚁在经过时间t后的速度为：

观察一下，前面部分是一个常数，后面是一个log函数。验证了昨天的猜测。

经过时间t后蚂蚁距离终点距离为：

（这个距离也可以通过对速度积分来计算）

这个函数就比较复杂了。前面半截为1减去一个log函数，后面半截为一个线性函数，两个相乘，会是什么样子的曲线呢？可以模拟一下。

 

还有一个很关键的问题，就是，蚂蚁经过多少时间能到达终点？

用 r=1 计算得如下结果：

 

(注意要向上取整)

当l=100,v1=1,v2=10时，答案为：t = 10(e^10-1)=220 255，跟昨天模拟结果的略有差距，误差10s，应该是在时间t较长时，模拟的时间片段显得较大而导致误差。当修改参数使得t减小时，误差应该会变小直至没有误差；若修改参数使得t增大，这个误差会继续扩大。

从上面的公式可以看出，蚂蚁到达终点的时间与 v2/v1 密切相关。

也可以验证 昨天模拟得到的结论： 对蚂蚁速度v1最敏感，橡皮筋速度v2次之，橡皮筋长度l最不敏感

对v1最敏感是因为 v1初始值比较小，稍微修改都可能导致很大的变化。比如v1从1cm/s变到2cm/s，那么时间t就会有10(e^10-1)变到10(e^5-1)，两者差e^5倍，这个差距是巨大的；而如果将v2由10cm/s变到20cm/s，差距仅为e^2倍，相比要小很多。