最近公共祖先LCA:RMQ转化

1,最近公共祖先(LCA):
对于有根树T的两个结点u、v，最近公共祖先LCA(T,u,v)表示一个结点x，满足x是u、v的祖先且x的深度尽可能大。
2,LCA问题向RMQ问题的转化方法:(RMQ返回最值的下标)
对树进行深度优先遍历，每当“进入”或回溯到某个结点时，将这个结点的深度存入数组dfsNum最后一位。同时记录结点i在数组中第一次出现的位置(事实上就是进入结点i时记录的位置)，记做first[i]。如果结点dfsNum[i]的深度记做depth[i]，易见，这时求LCA(u,v)，就等价于求 E[RMQ(depth,first[u],first[v])]，(first[u]<first[v])。
例如:



(深度遍历)difNum[i]为：1,2,1,3,4,3,5,3,1
first[i]为：0,1,3,4,6
(个点对应的深度)depth[i]为：0,1,0,1,2,1,2,1,0

于是有：
LCA(4,2) = difNum[RMQ(D,first[2],first[4])] = difNum[RMQ(D,1,6)] = difNum[2] = 1

转化后得到的数列长度为树的结点数*2-1（每经过一条边，都会记录端点，有N-1条边，所以会回溯N-1次。且每个顶点都会被添加一次，所以长度为2N-1）

3,实例代码:

#include<iostream>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxn=20010;

struct node //可以添加额外的信息
{
    int v;//孩子结点
};

//注意vector在树问题中的使用
vector<node> tree[maxn];

int dfsnum[maxn]; //记录遍历的节点
int depth[maxn]; //记录节点对应的深度
int first[maxn]; //记录结点第一次访问到时的下标
int top; //记录总的步伐数

void dfs(int m,int f,int dep) //当前节点编号,父节点编号,深度
{
    dfsnum[top]=m;
    depth[top]=dep;
    first[m]=top;
    top++;
    for(unsigned i=0;i<tree[m].size();i++)
    {
        if(tree[m][i].v==f)
            continue;
        dfs(tree[m][i].v,m,dep+1);
        dfsnum[top]=m; //注:每条边回溯一次,所以top的值=n+n-1
        depth[top]=dep;
        top++;
    }
}

int dp[maxn][18];
void makeRmqIndex(int n,int b[]) //返回最小值对应的下标
{
    int i,j;
    for(i=0;i<n;i++)
        dp[i][0]=i;
    for(j=1;(1<<j)<=n;j++)
        for(i=0;i+(1<<j)-1<n;i++)
            dp[i][j]=b[dp[i][j-1]] < b[dp[i+(1<<(j-1))][j-1]]? dp[i][j-1]:dp[i+(1<<(j-1))][j-1];
}
int rmqIndex(int s,int v,int b[])
{
    int k=(int)(log((v-s+1)*1.0)/log(2.0));
    return b[dp[s][k]]<b[dp[v-(1<<k)+1][k]]? dp[s][k]:dp[v-(1<<k)+1][k];
}

int lca(int x,int y)
{
    return dfsnum[rmqIndex(first[x],first[y],depth)];
}

int main()
{
    int n=5;//顶点数
    top=0;
    //分别存放每条边的端点
    int x[]={1,1,3,3};
    int y[]={2,3,4,5};
    node temp;
    for(int i=0;i<n-1;i++) //n-1条边
    {
        temp.v=y[i];
        tree[x[i]].push_back(temp);
        temp.v=x[i];
        tree[y[i]].push_back(temp);
    }
    dfs(1,-1,0); //根节点为1
    cout<<"总数:"<<top<<endl;
    makeRmqIndex(top,depth);
    cout<<"dfsnum:";
    for(int i=0;i<top;i++)
    {
        cout<<dfsnum[i]<<" ";
    }
    cout<<endl;
    cout<<"depth:";
    for(int i=0;i<top;i++)
    {
        cout<<depth[i]<<" ";
    }
    cout<<endl;
    cout<<"first:";
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cout<<first[i]<<" ";
    }
    cout<<endl;
    cout<<"lca(4,5):"<<lca(4,5)<<endl;
    cout<<"lca(2,4):"<<lca(2,4)<<endl;
    cout<<"lca(1,4):"<<lca(1,4)<<endl;
    return 0;
}