托勒密(Ptolemy)定理指出,圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
思路:托勒密定理在平面几何中赫赫有名,其难点在于:把一条对角线分割成两条线段DE和BE。第一步证明一对旋转的三角形相似:△ABE∽△ACD;第二步还需要证一对旋转的三角形相似△ADE∽△ACB;只有这两对相似的三角形出来了才能得到结论。
证明:以AB为边,作一个角等于已知角:即∠BAE=∠DAC;
在ΔABE和ΔACD中,
∵∠BAE=∠DAC;
∠ABE=∠ACD;
∴△ABE∽△ACD;
∴AB·DC=BE·AC①
∵∠BAE=∠DAC;
∴∠DAE=∠CAB;
在ΔADE和ΔACB中,
∵∠ADE=∠ACB;
∠DAE=∠CAB;
∴△ADE∽△ACB;
∴AD·BC=DE·AC②
∴①+②得:
AB·DC+ AD·BC= BE·AC+ DE·AC=(BE+DE)·AC=BD·AC。
结论:该命题对于圆内接的任意四边形都成立。最初是由数学家托勒密想出来的,叫做托勒密定理。“当你遇到AB·DC+AD·BC=AC·BD这样的等积式时,如果等式左边可以合二为一,则考虑证一对三角形相似,否则,在AC、BD的其中一条线段上找到一个分点,构造两个三角形相似。”
从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式,托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.
平面几何证明方法提示:
作一个直径AB为一的标准圆,与之相交的弦CD,作直径CF,连接线段,则ADB和ACB、CFD为直角。设DAB为A,BAC为B,那么sinA=BD,cosA=AD,sinB=BC,cosB=AC。sin(A+B)=sinCFD=CD.根据托勒密定理,AB*CD=BD*AC+BC*AD,代入即可。
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