从平方和数列到K阶等差数列

问题描述:数列求和

 

 

分析发现,对待第n项和第n-1项做差发现,n^2-(n-1)^2 = 2n-1 这是一个等差数列.现在问题转换为:如何计算一个二阶等差数列的和?

 

那么什么是二阶等差数列呢,这里先来谈谈K阶等差数列:

 

1.对于一个给定的数列，把它的连结两项an+1与an的差an+1-an记为bn，得到一个新数列，把数列bn你为原数列的一阶差数列，如果cn=bn+1-bn，则数列是的二阶差数列依此类推，可得出数列的p阶差数列

2.如果某数列的p阶差数列是一非零常数列，则称此数列为p阶等差数列

3.高阶等差数列是二阶或二阶以上等差数列的统称

4.高阶等差数列的性质：

　　(1)如果数列是p阶等差数列，则它的一阶差数列是p-1阶等差数列

　　(2)数列是p阶等差数列的充要条件是：数列的通项是关于n的p次多项式

　　(3) 如果数列是p阶等差数列，则其前n项和Sn是关于n的p+1次多项式

对待已知次数的多项式,我们当然可以采用待定系数法.

 

现在回到这个问题上,由上面的解释 我们不由得出平方和数列是一个二阶等差数列,那么其和S(n)应当是关于n的三次多项式,现在假设

 

S(n) = a*N^3+b*N^2+c*N+d

 

取S(1) S(2) S(3) S(4)代入计算得

 

S(n) =  n(n+1)(2n+1)/6