Skip List（跳跃表）原理详解与实现

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Skip List（跳跃表）原理详解与实现

本文内容框架：

§1 Skip List 介绍

§2 Skip List 定义以及构造步骤

§3 Skip List 完整实现

§4 Skip List 概率分析

§5 小结

§1 Skip List 介绍

Skip List是一种随机化的数据结构，基于并联的链表，其效率可比拟于二叉查找树（对于大多数操作需要O(log n)平均时间）。基本上，跳跃列表是对有序的链表增加上附加的前进链接，增加是以随机化的方式进行的，所以在列表中的查找可以快速的跳过部分列表(因此得名)。所有操作都以对数随机化的时间进行。Skip List可以很好解决有序链表查找特定值的困难。

§2 Skip List 定义以及构造步骤

Skip List定义

像下面这样（初中物理经常这样用，这里我也盗用下）：

一个跳表，应该具有以下特征：

一个跳表应该有几个层（level）组成；
跳表的第一层包含所有的元素；
每一层都是一个有序的链表；
如果元素x出现在第i层，则所有比i小的层都包含x；
第i层的元素通过一个down指针指向下一层拥有相同值的元素；
在每一层中，-1和1两个元素都出现(分别表示INT_MIN和INT_MAX)；
Top指针指向最高层的第一个元素。

构建有序链表

link list

的一个跳跃表如下：

Skip List构造步骤：

1、给定一个有序的链表。

2、选择连表中最大和最小的元素，然后从其他元素中按照一定算法（随机）随即选出一些元素，将这些元素组成有序链表。这个新的链表称为一层，原链表称为其下一层。
3、为刚选出的每个元素添加一个指针域，这个指针指向下一层中值同自己相等的元素。Top指针指向该层首元素
4、重复2、3步，直到不再能选择出除最大最小元素以外的元素。

§3 Skip List 完整实现

下面来定义跳表的数据结构（基于C）

首先是每个节点的数据结构

typedef  struct nodeStructure
{

    int key;

    int value;

    struct nodeStructure *forward[1];
}nodeStructure;

跳表的结构如下

typedef  struct skiplist
{

    int level;

    nodeStructure *header;
}skiplist;

下面是跳表的基本操作

首先是节点的创建

nodeStructure* createNode(int level,int key,int value)
{

    nodeStructure *ns=(nodeStructure *)malloc(sizeof(nodeStructure)+level*sizeof(nodeStructure*));  

    ns->key=key;  

    ns->value=value;  

    return ns;  
}

列表的初始化

列表的初始化需要初始化头部，并使头部每层（根据事先定义的MAX_LEVEL）指向末尾（NULL）。

skiplist* createSkiplist()
{

    skiplist *sl=(skiplist *)malloc(sizeof(skiplist));  

    sl->level=0;  

    sl->header=createNode(MAX_LEVEL-1,0,0);  

    for(int i=0;i<MAX_LEVEL;i++)  

    {  

        sl->header->forward[i]=NULL;  

    }

    return sl;
}

插入元素

插入元素的时候元素所占有的层数完全是随机的，通过随机算法产生

int randomLevel()  
{

    int k=1;

    while (rand()%2)  

        k++;  

    k=(k<MAX_LEVEL)?k:MAX_LEVEL;

    return k;  
}

跳表的插入需要三个步骤，第一步需要查找到在每层待插入位置，然后需要随机产生一个层数，最后就是从高层至下插入，插入时算法和普通链表的插入完全相同。

跳表,Skip List

bool insert(skiplist *sl,int key,int value)
{

    nodeStructure *update[MAX_LEVEL];

    nodeStructure *p, *q = NULL;

    p=sl->header;

    int k=sl->level;

    //从最高层往下查找需要插入的位置

    //填充update

    for(int i=k-1; i >= 0; i--){

        while((q=p->forward[i])&&(q->key<key))

        {

            p=q;

        }

        update[i]=p;

    }

    //不能插入相同的key

    if(q&&q->key==key)

    {

        return false;

    }

  

    //产生一个随机层数K

    //新建一个待插入节点q

    //一层一层插入

    k=randomLevel();

    //更新跳表的level

    if(k>(sl->level))

    {

        for(int i=sl->level; i < k; i++){

            update[i] = sl->header;

        }

        sl->level=k;

    }

  

    q=createNode(k,key,value);

    //逐层更新节点的指针，和普通列表插入一样

    for(int i=0;i<k;i++)

    {

        q->forward[i]=update[i]->forward[i];

        update[i]->forward[i]=q;

    }

    return true;
}

红色区域为辅助数组update的内容

删除节点

删除节点操作和插入差不多，找到每层需要删除的位置，删除时和操作普通链表完全一样。不过需要注意的是，如果该节点的level是最大的，则需要更新跳表的level。

bool deleteSL(skiplist *sl,int key)
{

    nodeStructure *update[MAX_LEVEL];

    nodeStructure *p,*q=NULL;

    p=sl->header;

    //从最高层开始搜

    int k=sl->level;

    for(int i=k-1; i >= 0; i--){

        while((q=p->forward[i])&&(q->key<key))

        {

            p=q;

        }

        update[i]=p;

    }

    if(q&&q->key==key)

    {

        //逐层删除，和普通列表删除一样

        for(int i=0; i<sl->level; i++){  

            if(update[i]->forward[i]==q){  

                update[i]->forward[i]=q->forward[i];  

            }

        } 

        free(q);

        //如果删除的是最大层的节点，那么需要重新维护跳表的

        for(int i=sl->level-1; i >= 0; i--){  

            if(sl->header->forward[i]==NULL){  

                sl->level--;  

            }  

        }  

        return true;

    }

    else

        return false;
}

查找

跳表的优点就是查找比普通链表快，当然查找操作已经包含在在插入和删除过程，实现起来比较简单。

跳表,Skip List

搜索key=14的示意图

int search(skiplist *sl,int key)
{

    nodeStructure *p,*q=NULL;

    p=sl->header;

    //从最高层开始搜

    int k=sl->level;

    for(int i=k-1; i >= 0; i--){

        while((q=p->forward[i])&&(q->key<=key))

        {

            if(q->key==key)

            {

                return q->value;

            }

            p=q;

        }

    }

    return NULL;
}

完整代码如下：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
  
#define MAX_LEVEL 10 //最大层数
  
//节点
typedef  struct nodeStructure
{
    int key;
    int value;
    struct nodeStructure *forward[1];
}nodeStructure;
  
//跳表
typedef  struct skiplist
{
    int level;
    nodeStructure *header;
}skiplist;
  
//创建节点
nodeStructure* createNode(int level,int key,int value)
{
    nodeStructure *ns=(nodeStructure *)malloc(sizeof(nodeStructure)+level*sizeof(nodeStructure*));  
    ns->key=key;  
    ns->value=value;  
    return ns;  
}
  
//初始化跳表
skiplist* createSkiplist()
{
    skiplist *sl=(skiplist *)malloc(sizeof(skiplist));  
    sl->level=0;  
    sl->header=createNode(MAX_LEVEL-1,0,0);  
    for(int i=0;i<MAX_LEVEL;i++)  
    {  
        sl->header->forward[i]=NULL;  
    }
    return sl;
}
  
//随机产生层数
int randomLevel()  
{
    int k=1;
    while (rand()%2)  
        k++;  
    k=(k<MAX_LEVEL)?k:MAX_LEVEL;
    return k;  
}
  
//插入节点
bool insert(skiplist *sl,int key,int value)
{
    nodeStructure *update[MAX_LEVEL];
    nodeStructure *p, *q = NULL;
    p=sl->header;
    int k=sl->level;
    //从最高层往下查找需要插入的位置
    //填充update
    for(int i=k-1; i >= 0; i--){
        while((q=p->forward[i])&&(q->key<key))
        {
            p=q;
        }
        update[i]=p;
    }
    //不能插入相同的key
    if(q&&q->key==key)
    {
        return false;
    }
  
    //产生一个随机层数K
    //新建一个待插入节点q
    //一层一层插入
    k=randomLevel();
    //更新跳表的level
    if(k>(sl->level))
    {
        for(int i=sl->level; i < k; i++){
            update[i] = sl->header;
        }
        sl->level=k;
    }
  
    q=createNode(k,key,value);
    //逐层更新节点的指针，和普通列表插入一样
    for(int i=0;i<k;i++)
    {
        q->forward[i]=update[i]->forward[i];
        update[i]->forward[i]=q;
    }
    return true;
}
  
//搜索指定key的value
int search(skiplist *sl,int key)
{
    nodeStructure *p,*q=NULL;
    p=sl->header;
    //从最高层开始搜
    int k=sl->level;
    for(int i=k-1; i >= 0; i--){
        while((q=p->forward[i])&&(q->key<=key))
        {
            if(q->key == key)
            {
                return q->value;
            }
            p=q;
        }
    }
    return NULL;
}
  
//删除指定的key
bool deleteSL(skiplist *sl,int key)
{
    nodeStructure *update[MAX_LEVEL];
    nodeStructure *p,*q=NULL;
    p=sl->header;
    //从最高层开始搜
    int k=sl->level;
    for(int i=k-1; i >= 0; i--){
        while((q=p->forward[i])&&(q->key<key))
        {
            p=q;
        }
        update[i]=p;
    }
    if(q&&q->key==key)
    {
        //逐层删除，和普通列表删除一样
        for(int i=0; i<sl->level; i++){  
            if(update[i]->forward[i]==q){  
                update[i]->forward[i]=q->forward[i];  
            }
        } 
        free(q);
        //如果删除的是最大层的节点，那么需要重新维护跳表的
        for(int i=sl->level - 1; i >= 0; i--){  
            if(sl->header->forward[i]==NULL){  
                sl->level--;  
            }  
        }  
        return true;
    }
    else
        return false;
}
  
void printSL(skiplist *sl)
{
    //从最高层开始打印
    nodeStructure *p,*q=NULL;
  
    //从最高层开始搜
    int k=sl->level;
    for(int i=k-1; i >= 0; i--)
    {
        p=sl->header;
        while(q=p->forward[i])
        {
            printf("%d -> ",p->value);
            p=q;
        }
        printf("\n");
    }
    printf("\n");
}
int main()
{
    skiplist *sl=createSkiplist();
    for(int i=1;i<=19;i++)
    {
        insert(sl,i,i*2);
    }
    printSL(sl);
    //搜索
    int i=search(sl,4);
    printf("i=%d\n",i);
    //删除
    bool b=deleteSL(sl,4);
    if(b)
        printf("删除成功\n");
    printSL(sl);
    system("pause");
    return 0;
}

§4 Skip List 概率分析