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柯西-施瓦茨不等式

 
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xy是实或复内积空间的元素,xy的内积记作\langle x,y\rangle,那么

\big| \langle x,y\rangle \big|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle

等式成立当且仅当xy线性相关。

柯西—施瓦茨不等式的一个重要结果,是内积为连续函数,甚至是满足1阶利普希茨条件的函数。

柯西—施瓦茨不等式有另一形式,可以用范数的写法表示:

 |\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|\,

柯西—施瓦茨不等式的矢量形式 \vec A =(a_1,a_2) , \vec B =(b_1,b_2)

|\vec A \cdot \vec B |\leq |\vec A||\vec B|
等号成立于\vec A \|\vec B


柯西—施瓦茨不等式的一般形式

(a_1 b_1+a_2 b_2)^2\leq(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)
等号成立于a_1 b_2=a_2 b_1
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