最长公共字串

动态规划法

经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。

为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法。

 

 

【问题】 求两字符序列的最长公共字符子序列

问题描述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列<i0，i1，…，ik-1>，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。

考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：

（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；

（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；

（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。

这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

求解：

 

引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

问题的递归式写成：

 

 

回溯输出最长公共子序列过程：

 

算法分析：
由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m * n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为Θ(m * n)。

Java代码实现：

public class MaxPipei {
	public void pipei(char arr1[], char arr2[]) {
		int b[][] = new int[arr1.length][arr2.length];
		int c[][] = new int[arr1.length][arr2.length];
		for (int i = 0; i < arr1.length; i++) {
			if (arr1[i] == arr2[0]) {
				while (i < arr1.length) {
					c[i][0] = 1;
					b[i][0] = 1;
					i++;
				}
			} else
				c[i][0] = 0;
		}

		for (int j = 0; j < arr2.length; j++) {
			if (arr2[j] == arr1[0]) {
				while (j < arr2.length) {
					c[0][j] = 1;
					b[0][j] = 1;
					j++;
				}
			} else
				c[0][j] = 0;
		}

		for (int i = 1; i < arr1.length; i++) {
			for (int j = 1; j < arr2.length; j++) {
				if (arr1[i] == arr2[j]) {
					c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;
					b[i][j] = 1;
				}
				// System.out.println(i + ":" + j);
				if (arr1[i] != arr2[j]) {
					if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1]) {
						c[i][j] = c[i - 1][j];
						b[i][j] = 0;
					} else if (c[i - 1][j] < c[i][j - 1]) {
						c[i][j] = c[i][j - 1];
						b[i][j] = -1;
					}
				}
			}
		}
		System.out.println(c[arr1.length - 1][arr2.length - 1]);

		Display(b, arr1, arr1.length - 1, arr2.length - 1);
	}

	public static void Display(int[][] b, char[] x, int i, int j) {
		if (i == -1 || j == -1)
			return;

		if (b[i][j] == 1) {
			Display(b, x, i - 1, j - 1);
			System.out.print(x[i] + " ");
		} else if (b[i][j] == 0) {
			Display(b, x, i - 1, j);
		} else if (b[i][j] == -1) {
			Display(b, x, i, j - 1);
		}
	}

	public static void main(String[] args) {
		MaxPipei maxPipei = new MaxPipei();
		maxPipei.pipei("nihaodddiccc".toCharArray(), "hapoii".toCharArray());
	}
}

 子串如果是连续的，算法如下

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class MaxPublicSubString {
	List<Integer> maxstr = new ArrayList<Integer>();
	int maxLen = Integer.MIN_VALUE;

	public void pipei(char arr1[], char arr2[]) {
		//同不连续的字符串类似初始化。
		int c[][] = new int[arr1.length][arr2.length];
		for (int i = 0; i < arr1.length; i++) {
			if (arr1[i] == arr2[0]) {
				c[i][0] = 1;
			} else
				c[i][0] = 0;
		}

		for (int j = 0; j < arr2.length; j++) {
			if (arr2[j] == arr1[0]) {
				c[0][j] = 1;
			} else
				c[0][j] = 0;
		}
		StringBuffer sb = new StringBuffer();
		for (int i = 1; i < arr1.length; i++) {
			for (int j = 1; j < arr2.length; j++) {
				//当前字符相等，则用前面动态规划的值加1，否则为0
				c[i][j] = arr1[i] == arr2[j] ? 1 + c[i - 1][j - 1] : 0;
				//如果大于最大长度则改变记录位置。
				if (c[i][j] > maxLen) {
					maxstr.clear();
					maxstr.add(i);
					maxLen = c[i][j];
				} else if (c[i][j] == maxLen) {
					maxstr.add(i);
				}
			}
		}
	}

	public static void main(String[] args) {
		String str1 = new String("binghaven");
		String str2 = new String("jingseven");
		MaxPublicSubString mps = new MaxPublicSubString();
		mps.pipei(str1.toCharArray(), str2.toCharArray());
		System.out.println(mps.maxLen);
		for (Integer i : mps.maxstr) {
			System.out.println(str1.substring(i - mps.maxLen + 1, i + 1));
		}
	}
}