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【高斯消元 求期望】HDU 4418 Time travel
http://poj.org/problem?id=3260
以下是从网上拷过来的分析:
题意:John去买东西,东西的价格是T(1 <= T <= 10000),John所在的地方有n(1 <= n <= 100)种的硬币,面值分别为V1, V2, ..., Vn (1 <= Vi <= 120)。John带了C1枚面值为V1的硬币,C2枚面值为V2的硬币,...,Cn枚面值为Vn的硬币(0 <= Ci <= 10000)。售货员那里每种硬币都有无限多个。问为了支付这个T,John给售货员的硬币数目加上售货员找回的零钱的硬币数目最少是多少。如果无法支付 T,输出-1
解法:支付时硬币数量有限制,为多重背包问题,通过二进制方法转化为01背包求解。找零时,硬币数量无限制,为完全背包问题。对两问题分别求解,然后找出差额为T时,两者和的最小值即为所示。
分析:
1.给钱时,硬币数有限制,为多重背包问题
2.找钱时,硬币数无限制,为完全背包问题
3.给钱上界为:T+maxValue^2,其中maxValue为最大硬币面值
证明:反证法。假设存在一种支付方案,John给的钱超过T+maxValue^2
则售货员找零超过maxValue^2,则找的硬币数目超过maxValue个
将其看作一数列,求前n项和sum(n)
根据鸽巢原理,至少有两个对maxValue求模的值相等
假设为sum(i)和sum(j),i<j
则i+1j的硬币面值和为maxValue的倍数
同理,John给的钱中也有一定数量的硬币面值和为maxValue的倍数
则这两堆硬币可用数量更少的maxValue面值硬币代替,产生更优方案
我的代码【背包九讲的风格】:
以下是从网上拷过来的分析:
题意:John去买东西,东西的价格是T(1 <= T <= 10000),John所在的地方有n(1 <= n <= 100)种的硬币,面值分别为V1, V2, ..., Vn (1 <= Vi <= 120)。John带了C1枚面值为V1的硬币,C2枚面值为V2的硬币,...,Cn枚面值为Vn的硬币(0 <= Ci <= 10000)。售货员那里每种硬币都有无限多个。问为了支付这个T,John给售货员的硬币数目加上售货员找回的零钱的硬币数目最少是多少。如果无法支付 T,输出-1
解法:支付时硬币数量有限制,为多重背包问题,通过二进制方法转化为01背包求解。找零时,硬币数量无限制,为完全背包问题。对两问题分别求解,然后找出差额为T时,两者和的最小值即为所示。
分析:
1.给钱时,硬币数有限制,为多重背包问题
2.找钱时,硬币数无限制,为完全背包问题
3.给钱上界为:T+maxValue^2,其中maxValue为最大硬币面值
证明:反证法。假设存在一种支付方案,John给的钱超过T+maxValue^2
则售货员找零超过maxValue^2,则找的硬币数目超过maxValue个
将其看作一数列,求前n项和sum(n)
根据鸽巢原理,至少有两个对maxValue求模的值相等
假设为sum(i)和sum(j),i<j
则i+1j的硬币面值和为maxValue的倍数
同理,John给的钱中也有一定数量的硬币面值和为maxValue的倍数
则这两堆硬币可用数量更少的maxValue面值硬币代替,产生更优方案
我的代码【背包九讲的风格】:
#include <iostream> #include <iomanip> #include <fstream> #include <sstream> #include <algorithm> #include <string> #include <set> #include <utility> #include <queue> #include <stack> #include <list> #include <vector> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <cmath> #include <ctime> #include <ctype.h> using namespace std; #define inf 0x3fffffff //需要有两个dp,一个是付钱【多重背包】,一个是找钱【完全背包】,2者必须独立求解 int dp[25000], dp2[25000], w[105], num[105], MAX, maxs; //dp存放的值是硬币个数,dp数组的下标意义:钱的数量 //dp[j]:给j钱至少需要dp[j]个硬币,dp2[j]:找j钱至少需要dp2[j]个硬币 void _01pack (int cost, int weight) { int j; for (j = MAX; j >= cost; j--) //取最小时由于初始化为负无穷,所以要讨论,下面同理 { if (dp[j] >= 0 && dp[j-cost] >= 0) dp[j] = min (dp[j], dp[j-cost] + weight); else if (dp[j-cost] >= 0) dp[j] = dp[j-cost] + weight; } /*cout << "-" << endl; //打表调试 for (j = 0; j <= 400; j++) cout << dp[j] << ' '; cout << endl;*/ } void compack (int cost) { int j; for (j = cost; j <= MAX; j++) { if (dp[j] >= 0 && dp[j-cost] >= 0) dp[j] = min (dp[j], dp[j-cost] + 1); else if (dp[j-cost] >= 0) dp[j] = dp[j-cost] + 1; } /*cout << "--" << endl; //打表调试 for (j = 0; j <= MAX; j++) cout << dp[j] << ' '; cout << endl;*/ } void mulpack (int cost, int weight, int amount) //付钱多重背包,包含上面2个函数 { if (cost * amount >= MAX) { compack (cost); return ; } int k = 1; while (k <= amount) { _01pack (k*cost, k*weight); //注意,01背包必须得有weight变量,因为这里价值不一定是1了 amount -= k; k <<= 1; } _01pack (amount*cost, amount*weight); } void compack2 (int cost) //找钱完全背包 { int j; for (j = cost; j <= maxs; j++) { if (dp2[j] >= 0 && dp2[j-cost] >= 0) dp2[j] = min (dp2[j], dp2[j-cost] + 1); else if (dp2[j-cost] >= 0) dp2[j] = dp2[j-cost] + 1; } /*cout << "---" << endl; for (j = 0; j <= 366; j++) cout << dp2[j] << ' '; cout << endl;*/ } int main() { int n, t, i, mins, j; while (cin >> n >> t) { maxs = 0; for (i = 0; i < n; i++) { cin >> w[i]; if (maxs < w[i]) maxs = w[i]; } maxs *= maxs; //找钱上界 MAX = t + maxs; //付钱上界 for (i = 0; i < n; i++) cin >> num[i]; for (i = 1; i <= MAX; i++) dp[i] = -inf; dp[0] = 0; //dp初始化,付钱 for (i = 0; i < n; i++) mulpack (w[i], 1, num[i]); for (i = 1; i <= maxs; i++) dp2[i] = -inf; dp2[0] = 0; //dp2初始化,找钱 for (i = 0; i < n; i++) compack2 (w[i]); mins = inf; for (j = t; j <= MAX; j++) //枚举所以付钱情况,枚举所用硬币数,找出最小 { if (dp[j] >= 0 && dp2[j-t] >= 0)//检查是否可以付j钱,是否可以找j-t钱,买东西要花t钱 mins = min (mins, dp[j]+dp2[j-t]); } if (mins == inf) //发现没有合法情况 puts ("-1"); else cout << mins << endl; } return 0; }
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