poj 3468 树状数组解法

一 算法    

    树状数组天生用来动态维护数组前缀和，其特点是每次更新一个元素的值，查询只能查数组的前缀和，

但这个题目求的是某一区间的数组和，而且要支持批量更新某一区间内元素的值，怎么办呢？实际上，

还是可以把问题转化为求数组的前缀和。

 

    首先，看更新操作update(s, t, d)把区间A[s]...A[t]都增加d，我们引入一个数组delta[i]，表示

A[i]...A[n]的共同增量，n是数组的大小。那么update操作可以转化为：

1）令delta[s] = delta[s] + d，表示将A[s]...A[n]同时增加d，但这样A[t+1]...A[n]就多加了d，所以

2）再令delta[t+1] = delta[t+1] - d，表示将A[t+1]...A[n]同时减d

 

    然后来看查询操作query(s, t)，求A[s]...A[t]的区间和，转化为求前缀和，设sum[i] = A[1]+...+A[i]，则

                            A[s]+...+A[t] = sum[t] - sum[s-1]，

那么前缀和sum[x]又如何求呢？它由两部分组成，一是数组的原始和，二是该区间内的累计增量和, 把数组A的原始

值保存在数组org中，并且delta[i]对sum[x]的贡献值为delta[i]*(x+1-i)，那么

                            sum[x] = org[1]+...+org[x] + delta[1]*x + delta[2]*(x-1) + delta[3]*(x-2)+...+delta[x]*1

                                         = org[1]+...+org[x] + segma(delta[i]*(x+1-i))

                                         = segma(org[i]) + (x+1)*segma(delta[i]) - segma(delta[i]*i)，1 <= i <= x

这其实就是三个数组org[i], delta[i]和delta[i]*i的前缀和，org[i]的前缀和保持不变，事先就可以求出来，delta[i]和

delta[i]*i的前缀和是不断变化的，可以用两个树状数组来维护。

 

    树状数组的解法比朴素线段树快很多，如果把long long变量改成__int64，然后用C提交的话，可以达到1047ms，

排在22名，但很奇怪，如果用long long变量，用gcc提交的话就要慢很多。

 

 

二 代码

 

#include <stdio.h>

#define DEBUG

#ifdef DEBUG
#define debug(...) printf( __VA_ARGS__) 
#else
#define debug(...)
#endif

#define N 100002

#define lowbit(i) ( i & (-i) )

/* 设delta[i]表示[i,n]的公共增量 */
long long c1[N];	/* 维护delta[i]的前缀和 */
long long c2[N];	/* 维护delta[i]*i的前缀和 */
long long sum[N];
int 	  A[N];
int n;

long long query(long long *array, int i)
{
	long long tmp;

	tmp = 0;
	while (i > 0) {
		tmp += array[i];
		i -= lowbit(i);
	}
	return tmp;
}

void update(long long *array, int i, long long d) 
{
	while (i <= n) {
		array[i] += d;
		i += lowbit(i);
	}
}

int main() 
{
	int 		q, i, s, t, d;
	long long 	ans;
	char		action;

	scanf("%d %d", &n, &q);
	for (i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d", A+i);
	}
	for (i = 1; i <= n; i++) {
		sum[i] = sum[i-1] + A[i];
	}

	while (q--) {
		getchar();
		scanf("%c %d %d", &action, &s, &t);
		if (action == 'Q') {
			ans = sum[t] - sum[s-1];
			ans += (t+1)*query(c1, t) - query(c2, t);
			ans -= (s*query(c1, s-1) - query(c2, s-1));
			printf("%lld\n", ans);
		}
		else {
			scanf("%d", &d);
			/* 把delta[i](s<=i<=t)加d，策略是
			 *先把[s,n]内的增量加d，再把[t+1,n]的增量减d
			 */
			update(c1, s, d);
			update(c1, t+1, -d);
			update(c2, s, d*s);
			update(c2, t+1, -d*(t+1));
		}
	}
	return 0;
}

 

事实上,还可以不通过求s和t的前缀和，而是直接求出[s,t]的区间和，这是因为：

                                        sum[t] = segma(org[i]) + (x+1)*segma(delta[i]) - segma(delta[i]*i)  1 <= i <= t

                                        sum[s-1] = segma(org[i]) + s*segma(delta[i]) - segma(delta[i]*i)  1 <= i <= s-1

[s,t]的区间和可以表示为：

sum[t]-sum[s-1] = org[s] + ... + org[t] + (t+1)*(delta[s] + ... + delta[t]) + (t-s+1)*(delta[1] + ... + delta[s-1])

                                - (delta[s]*s + ... + delta[t]*t)

                            = segma(org[i]) +(t+1)* segma(delta[i]) - segma(delta[i]*i) , s <= i <= t

                             + (t-s+1)*segma(delta[i]), 1 <= i <= s-1

问题转化为求三个数组org, delta[i]和delta[i]*i的区间和，而线段树可以直接求出区间和，所以又得到了另外一种

解法：

 

#include <stdio.h>

//#define DEBUG

#ifdef DEBUG
#define debug(...) printf( __VA_ARGS__) 
#else
#define debug(...)
#endif

#define N 100002

/* 设delta[i]表示[i,n]的公共增量 */
long long tree1[262144];	/* 维护delta[i]的前缀和 */
long long tree2[262144];	/* 维护delta[i]*i的前缀和 */
long long sum[N];
int		A[N];
int		n, M;

/* 查询[s,t]的区间和 */
long long query(long long *tree, int s, int t)
{
	long long tmp;

	tmp = 0;
	for (s = s+M-1, t = t+M+1; (s^t) != 1; s >>= 1, t >>= 1) {
		if (~s&1) {
			tmp += tree[s^1];
		}
		if (t&1) {
			tmp += tree[t^1];
		}
	}
	return tmp;
}

/* 修改元素i的值 */
void update(long long *tree, int i, long long d) 
{
	for (i = (i+M); i > 0; i >>= 1) {
		tree[i] += d;
	}
}

int main() 
{
	int 		q, i, s, t, d;
	long long 	ans;
	char		action;

	scanf("%d %d", &n, &q);
	for (i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d", A+i);
	}
	for (i = 1; i <= n; i++) {
		sum[i] = sum[i-1] + A[i];
	}

	for (M = 1; M < (n+2); M <<= 1);

	while (q--) {
		getchar();
		scanf("%c %d %d", &action, &s, &t);
		if (action == 'Q') {
			ans = sum[t] - sum[s-1];
			ans += (t+1)*query(tree1, s, t)+(t-s+1)*query(tree1, 1, s-1);
 			ans -= query(tree2, s, t);
			printf("%lld\n", ans);
		}
		else {
			scanf("%d", &d);
			/* 把delta[i](s<=i<=t)加d，策略是
			 *先把[s,n]内的增量加d，再把[t+1,n]的增量减d
			 */
			update(tree1, s, d);
			update(tree2, s, d*s);
			if (t < n) {
				update(tree1, t+1, -d);
				update(tree2, t+1, -d*(t+1));
			}
		}
	}
	return 0;
}

 

    两种解法本质上是一样的，其实zkw式线段树 == 树状数组，它们都可以支持查询某个区间的和，以及修改某个点的值，

但不能直接修改某个区间的值，必须引入一个额外的数组，如这题的delta数组，把对区间的修改转化为对两个端点的修改。

评论

1 楼 weiqingliu 2015-04-04  

树状数组不是求前缀和的吗？那那个detial数组是怎么回事啊