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第一种算法的复杂度不太好,第二种算法主要利用了约瑟夫环的数学特性,额,现在还没完全看懂,下次接着看。
(这一部分来自http://www.cnblogs.com/EricYang/archive/2009/09/04/1560478.html)
第二种方法的思路:
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点:要模拟整个游戏过程,不仅程序写起来比较烦,而且时间复杂度高达O(nm),当n,m非常大(例如上百万,上千万)的时候,几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号,而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率,就要打破常规,实施一点数学策略。
为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:
问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开始):
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换:
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x'=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式:
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值,最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f[n]+1
由于是逐级递推,不需要保存每个f[i],],程序也是异常简单:
这个算法的时间复杂度为O(n),相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n,m等于一百万,一千万的情况不是问题了。可见,适当地运用数学策略,不仅可以让编程变得简单,而且往往会成倍地提高算法执行效率。
相比之下,解法二的优越性不言而喻,同时说明数学确实很重要。(agin:第二种算法来自http://www.cnblogs.com/EricYang/archive/2009/09/04/1560478.html)
(这一部分来自http://www.cnblogs.com/EricYang/archive/2009/09/04/1560478.html)
public class Josephus { static void josephus( int[] A,int s, int m ) { int n=A.length; int i, j, k, tmp; if ( m == 0 ) { System.out.println("m = 0是无效的参数!"); return; } for ( i = 0; i < n; i++ ) A[i] = i + 1;/*初始化,执行n次*/ i = s - 1; /*报名起始位置*/ for ( k = n; k > 1; k-- ) { /*逐个出局,执行n-1次*/ if ( i == k ) //当前队列最后一个即为出局者,将i移到0 i = 0; i = ( i + m - 1 ) % k; /*寻找出局位置*/ if ( i != k-1 ) { tmp = A[i]; /*出局者交换到第k-1位置*/ for ( j = i; j < k-1; j++ ) A[j] = A[j+1]; A[k-1] = tmp; } } for ( k = 0; k < n / 2; k++ ) {/*全部逆置, 得到出局序列*/ tmp = A[k]; A[k] = A[n-k-1]; A[n-k-1] = tmp; } for(int v=0; v<A.length; v++) System.out.print(A[v]+" "); } static void josephus2( int[] A,int s, int m ) { int n=A.length; int t=0; for (int i = 2; i <=n; i++) { t = (t + m) % i; } System.out.println("The winner is "+(t+1)); } /** * @param args */ public static void main(String[] args) { // TODO Auto-generated method stub int[] list = new int[9]; System.out.println("Josephus problem solution1:"); josephus(list,1,5); System.out.println("\n\nJosephus problem solution2:"); josephus2(list,1,5); } }
第二种方法的思路:
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点:要模拟整个游戏过程,不仅程序写起来比较烦,而且时间复杂度高达O(nm),当n,m非常大(例如上百万,上千万)的时候,几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号,而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率,就要打破常规,实施一点数学策略。
为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:
问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开始):
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换:
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x'=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式:
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值,最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f[n]+1
由于是逐级递推,不需要保存每个f[i],],程序也是异常简单:
1 #include <stdio.h> 2 int main() 3 { 4 int n, m, i, s = 0; 5 printf ("N M = "); 6 scanf("%d%d", &n, &m); 7 for (i = 2; i <= n; i++) 8 { 9 s = (s + m) % i; 10 } 11 printf ("\nThe winner is %d\n", s+1); 12 }
这个算法的时间复杂度为O(n),相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n,m等于一百万,一千万的情况不是问题了。可见,适当地运用数学策略,不仅可以让编程变得简单,而且往往会成倍地提高算法执行效率。
相比之下,解法二的优越性不言而喻,同时说明数学确实很重要。(agin:第二种算法来自http://www.cnblogs.com/EricYang/archive/2009/09/04/1560478.html)
评论
2 楼
jaychang
2011-01-21
第二个确实简单不少,但是比较难理解,这是我的算法,可以交流下哈http://jaychang.iteye.com/admin/blogs/702077
1 楼
chriszeng87
2010-12-14
有点明白了,
这里的x是指(n-1)个人报数最后胜利者的编号(对应->右边的数),x'是指n个人报数最后胜利者的编号(对应->左边的数)
引用
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x'=(x+k)%n
这里的x是指(n-1)个人报数最后胜利者的编号(对应->右边的数),x'是指n个人报数最后胜利者的编号(对应->左边的数)
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