数据结构中常用树之概念

昨晚看到map 和 hash_map 对其中的红黑树概念模糊了。于是晚上翻了下书，以此为记。

1.平衡二叉树：　当且仅当两个子树的高度差不超过1时，这个树是平衡二叉树。（同时是排序二叉树）

 平衡二叉树，又称AVL树。它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的高度之差之差的绝对值不超过1.

常用算法有：红黑树、AVL树、Treap等。

　　平衡二叉树的调整方法

　　平衡二叉树是在构造二叉排序树的过程中，每当插入一个新结点时，首先检查是否因插入新结点而破坏了二叉排序树的平衡性，
若是，则找出其中的最小不平衡子树，在保持二叉排序树特性的前提下，调整最小不平衡子树中各结点之间的链接关系，进行相应的
旋转，使之成为新的平衡子树。具体步骤如下：

　　⑴ 每当插入一个新结点，从该结点开始向上计算各结点的平衡因子，即计算该结点的祖先结点的平衡因子，
 若该结点的祖先结点的平衡因子的绝对值均不超过1，则平衡二叉树没有失去平衡，继续插入结点；
 
　　⑵ 若插入结点的某祖先结点的平衡因子的绝对值大于1，则找出其中最小不平衡子树的根结点；

　　⑶ 判断新插入的结点与最小不平衡子树的根结点的关系，确定是哪种类型的调整；

　　⑷ 如果是LL型或RR型，只需应用扁担原理旋转一次，在旋转过程中，如果出现冲突，应用旋转优先原则调整冲突；如果是LR型或LR型，
 则需应用扁担原理旋转两次，第一次最小不平衡子树的根结点先不动，调整插入结点所在子树，第二次再调整最小不平衡子树，在旋
 转过程中，如果出现冲突，应用旋转优先原则调整冲突；
 
　　⑸ 计算调整后的平衡二叉树中各结点的平衡因子，检验是否因为旋转而破坏其他结点的平衡因子，
 以及调整后的平衡二叉树中是否存在平衡因子大于1的结点。
 
 
2.完全二叉树(Complete Binary Tree)

　　若设二叉树的高度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层从右向左连续缺若干结点，这就是完全二叉树。

3.满二叉树(Full Binary Tree)

　　一棵深度为h且有 2^h-1个结点的二叉树。

4.红黑树

红黑树是一种自平衡二叉查找树，是在计算机科学中用到的一种数据结构，典型的用途是实现关联数组。

 它是在1972年由Rudolf Bayer发明的，他称之为"对称二叉B树"，它现代的名字是在 Leo J. Guibas 和 Robert Sedgewick 于1978年写的一篇
 论文中获得的。它是复杂的，但它的操作有着良好的最坏情况运行时间，并且在实践中是高效的:
 
 它可以在O(log n)时间内做查找，插入和删除，这里的n 是树中元素的数目。
 
　红黑树是一种很有意思的平衡检索树。

 它的统计性能要好于平衡二叉树(有些书籍根据作者姓名，Adelson-Velskii和Landis，将其称为AVL-树)，
 
 因此，红黑树在很多地方都有应用。在C++ STL中，很多部分(目前包括set, multiset, map, multimap)应用了红黑树的变体(SGI STL中的红黑树有一些变化，
 
 这些修改提供了更好的性能，以及对set操作的支持)。

 红黑树是每个节点都有颜色特性的二叉查找树，颜色的值是红色或黑色之一。除了二叉查找树带有的一般要求，
 我们对任何有效的红黑树加以如下增补要求:
 
　　1.节点是红色或黑色。

　　2.根是黑色。

　　3.每个红色节点的两个子节点都是黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)

　　4.从每个叶子到根的所有路径都包含相同数目的黑色节点。

　　这些约束强制了红黑树的关键属性:

 从根到叶子的最长的可能路径不大于最短的可能路径的两倍长。
 
 结果是这个树大致上是平衡的。因为操作比如插入、删除和查找某个值都要求与树的高度成比例的最坏情况时间，
 
 这个在高度上的理论上限允许红黑树在最坏情况下都是高效的，而不同于普通的二叉查找树。
 
　在很多树数据结构的表示中，一个节点有可能只有一个儿子，而叶子节点包含数据。

 用这种范例表示红黑树是可能的，但是这会改变一些属性并使算法复杂。为此，本文中我们使用 "null 叶子"
 
 或"空(null)叶子"，如上图所示，它不包含数据而只充当树在此结束的指示。这些节点在绘图中经常被省略，
 
 导致了这些树好像同上述原则相矛盾，而实际上不是这样。与此有关的结论是所有节点都有两个儿子，尽管其中的一个或两个可能是空叶子。