【计算机图形学】基本图形元素：直线的生成算法

08年9月入学，12年7月毕业，结束了我在软件学院愉快丰富的大学生活。此系列是对四年专业课程学习的回顾，索引参见：http://blog.csdn.net/xiaowei_cqu/article/details/7747205

 

直线的DDA算法

【算法介绍】

设直线之起点为（x1，y1），终点为（x2，y2），则斜率m为：

直线中的每一点坐标都可以由前一点坐标变化一个增量（Dx, Dy）而得到，即表示为递归式：

并有关系：Dy = m • Dx。递归式的初值为直线的起点（x1, y1），这样，就可以用加法来生成一条直线。具体方法是：

直线方向的8个象限

按照直线从（x1，y1）到（x2，y2）的方向不同，分为8个象限。对于方向在第1a象限内的直线而言，D x=1，D y=m。对于方向在第1b象限内的直线而言，取值Dy=1，Dx=1/m。各象限中直线生成时Dx, Dy的取值列在下表之中。

 

 

• 当|dx|>|dy|时，|D x|=1, |D y|=m；否则：Dx=1/m，|Dy|=1
• Dx, Dy的符号与dx, dy的符号相同

这两条规律可以导致程序的简化

【算法流程图】

【相关代码】

void PaintArea::drawLineDDA(QPainter &painter,int x0, int y0, int xEnd, int yEnd)
{
    int dx=xEnd-x0,dy=yEnd-y0,steps,k;
    float xIncrement,yIncrement,x=x0,y=y0;
    if(fabs(dx)>fabs(dy))  steps=fabs(dx);
    else  steps=fabs(dy);
    xIncrement=float(dx)/float(steps);
    yIncrement=float(dy)/float(steps);
    painter.drawPoint(round(x),round(y));
    for(k=0;k<steps;k++){
        x+=xIncrement;
        y+=yIncrement;
        painter.drawPoint(round(x),round(y));
    }
}

直线的Bresenham算法

这个算法由Bresenham在1965年提出。设直线从起点（x1, y1）到终点（x2, y2）。直线可表示为方程y=mx+b。其中

我们的讨论先将直线方向限于1a象限在这种情况下，当直线光栅化时，x每次都增加1个单元，即

而y的相应增加应当小于1。为了光栅化，yi+1只可能选择如下两种位置之一（如图）。

i+1的位置选择yi-1=yi 或者 yi+1=yi+1
选择的原则是看精确值y与yi及yi+1的距离d1及d2的大小而定。计算式为：

如果d1-d2>0，则yi+1=yi+1，否则yi+1=yi。因此算法的关键在于简便地求出d1-d2的符号。将上公式得
d1-d2=2y-2yi-1=2 (xi+1)-2yi+2b-1
用dx乘等式两边，并以Pi=dx(d1-d2)代入上述等式，得
Pi=2xidy-2yidx+2dy+dx(2b-1)
d1-d2是我们用以判断符号的误差。由于在1a象限，dx总大于0，所以Pi仍旧可以用作判断符号的误差。Pi-1为：
Pi+1=Pi+2dy-2dx(yi+1-yi)
误差的初值P1，可将x1, y1，和b代入式（4）中的xi, yi而得到：
P1=2dy-dx

 

Bresenham算法的优点是：

1. 不用浮点数，只用整数；
2. 只做整数加减法和乘2运算，而乘2运算可以用硬件移位实现。
3. Bresenham算法速度很快，并适于用硬件实现。

 

【算法流程图】

 

【相关代码】

void PaintArea::drawLineBresenham(QPainter &painter, int x0, int y0, int xEnd, int yEnd)
{
    int x,y,dx,dy,e;
    if(fabs(x0-xEnd)>fabs(y0-yEnd)){
        dx=xEnd-x0; dy=yEnd-y0; e=-dx;
        x=x0; y=y0;
        for(int i=0;i<=dx;i++)
        {painter.drawPoint(x,y);
         x=x+1; e=e+2*dy;
         if(e>=0) {y=y+1; e=e-2*dx; }}
    }
    else if(fabs(x0-xEnd)>fabs(y0-yEnd)){
        dx=xEnd-x0; dy=yEnd-y0; e=-dx;
        x=x0; y=y0;
        for(int i=0;i<=dx;i++)
        { painter.drawPoint(x,y);
         y=y+1; e=e+2*dx;
         if(e>=0) {x=x+1; e=e-2*dy; }}
    }
}

 

中点画线法

假定直线斜率k在0~1之间，当前象素点为（xp,yp），则下一个象素点有两种可选择点（xp+1,yp）或P2（xp+1,yp+1）。若P1与P2的中点（xp+1,yp+0.5）称为M，Q为理想直线与x=xp+1垂线的交点。当M在Q的下方时，则取P2应为下一个象素点；当M在Q的上方时，则取P1为下一个象素点。这就是中点画线法的基本原理。

 

【算法流程图】

 

 

【相关代码】

void PaintArea::drawLineMiddle(QPainter &painter, int x0, int y0, int xEnd, int yEnd)
{
    int a,b,d,x,y;
    if(fabs(x0-xEnd)>fabs(y0-yEnd)){
        a=y0-yEnd; b=xEnd-x0; d=2*a+b; x=x0; y=y0;
        painter.drawPoint(x,y);
        while(x<xEnd)
        {   if(d<0) {x++;y++;d+=2*(a+b); }
            else{x++;d+=2*a; }
            painter.drawPoint(x,y);
        }
    }
    else if(fabs(x0-xEnd)>fabs(y0-yEnd) &&(x0-xEnd))<0)){
        a=y0-yEnd; b=xEnd-x0; d=2*a+b; x=x0; y=y0;
        painter.drawPoint(x,y);
        while(x>xEnd)
        {   if(d<0) {x--;y--; d-=2*(a+b); }
            else{x--;d-=2*a; }
            painter.drawPoint(x,y);
        }
    }
    else if(fabs(x0-xEnd)<fabs(y0-yEnd)&&(x0-xEnd)<0){
        a=y0-yEnd; b=xEnd-x0; d=2*a+b; x=x0; y=y0;
        painter.drawPoint(x,y);
 while(y>yEnd)
        {   if(d<0) {y++;x++;d+=2*(a+b); }
            else{y++;d+=2*a; }
            painter.drawPoint(x,y);
        }
}
else if(fabs(x0-xEnd)<fabs(y0-yEnd) &&(x0-xEnd))>0)){
        a=y0-yEnd; b=xEnd-x0; d=2*a+b; x=x0; y=y0;
        painter.drawPoint(x,y);
        while(x>xEnd)
        {   if(d<0) {x--;y--; d-=2*(a+b); }
            else{x--;d-=2*a; }
            painter.drawPoint(x,y);
        }
    }
else if(fabs(x0-xEnd)<fabs(y0-yEnd)&&(x0-xEnd)>0){
        a=y0-yEnd; b=xEnd-x0; d=2*a+b; x=x0; y=y0;
        painter.drawPoint(x,y);
 while(y>yEnd)
        {   if(d<0) {y++;x++;d+=2*(a+b); }
            else{y++;d+=2*a; }
            painter.drawPoint(x,y);
        }  
    }  
}

 

软件截图

 

这个绘图软件是用QT写的，我会另外写一篇介绍编程结构，敬请期待~

 

结果分析

• 此次实验自己真的倾注了很大的心血。
  因为很喜欢计算机图形学，所以很想做个像模像样的东西出来，于是就下定决心借实验的机会做个简易的windows画板。也是第一次正式的使用QT开发，摸索的过程使得整个实验拖了很长时间。最终的结果还是比较令自己满意的，至少基本功能都实现了，界面也还看得过去。
• 过于注重表面，算法上功夫不足，有些“舍本逐末”
  我是把整个软件做差不多了，才开始细细得来研究图元的基本算法（开始都是调用qt自带的绘制函数）。调试算法的过程才深刻感觉这比整个软件更花时间（可能因为整个软件并没有很复杂的架构）。由于时间有限，很多地方没有细细改进。尤其是对于k的几种情况，就生生的写了很冗余的代码，实在是丑啊。
• 以后再继续改进。
  要改进的地方还有很多。比如算法结构重构，不要写那么冗余。然后再尝试一些填充算法自己实现，还有自己会试着做做简单的图像处理，变形拉伸什么的。
  总之，坚持动手，学以致用。
  

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