【计算机图形学】基本图形元素：圆的生成算法

08年9月入学，12年7月毕业，结束了我在软件学院愉快丰富的大学生活。此系列是对四年专业课程学习的回顾，索引参见：http://blog.csdn.net/xiaowei_cqu/article/details/7747205

 

圆的特征

圆被定义为到给定中心位置（xc,yc）距离为r的点集。圆心位于原点的圆有四条对称轴x=0,y=0, x=y和x=-y。若已知圆弧上一点（x,y）,可以得到其关于四条对称轴的其它7个点，这种性质称为八分对称性。因此，只要扫描转换八分之一圆弧，就可以求出整个圆弧的象素集。

显示圆弧上的八个对称点的算法：

void CirclePoints(int x,int y,int color)
{ Putpixel(x,y,color); Putpixel(y,x,color);
  Putpixel(-x,y,color); Putpixel(y,-x,color);
  Putpixel(x,-y,color); Putpixel(-y,x,color);
  Putpixel(-x,-y,color); Putpixel(-y,-x,color);
}

中点画圆算法

果我们构造函数 F(x,y)=x2+y2-R2，则对于圆上的点有F(x,y)=0，对于圆外的点有F(x,y)>0，对于圆内的点F(x,y)<0 。与中点画线法一样，构造判别式：
d=F(M)=F(xp+1,yp-0.5)=(xp+1)2+(yp-0.5)2-R2
若 d<0，则应取P1为下一象素，而且再下一象素的判别式为：
d=F(xp+2,yp-0.5)=(xp+2)2+(yp-0.5)2-R2=d+2xp+3
若d≥0，则应取P2为下一象素，而且下一象素的判别式为
d=F(xp+2,yp-1.5)=(xp+2)2+(yp-1.5)2-R2=d+2(xp-yp)+5
我们这里讨论的第一个象素是（0,R），判别式d的初始值为：
d0=F(1,R-0.5)=1.25-R

【算法流程图】

【算法代码】

void PaintArea::drawCircleMiddle(QPainter &painter,const QPoint ¢er, int r)
{
    int x,y,deltax,deltay,d;
    x=0;y=r;
    deltax=3;deltay=2-3-3;d=1-r;
    while(x<y)
    {
        if(d<0)
        {
            d+=deltax;
            deltax+=2;
            x++;
        }
        else
        {
            d+=(deltax+deltay);
            deltax+=2;deltay+=2;
            x++;y++;
        }
        painter.drawPoint(center.x()+x,center.y()+y);
        painter.drawPoint(center.x()+x,center.y()-y);
        painter.drawPoint(center.x()-x,center.y()+y);
        painter.drawPoint(center.x()-x,center.y()-y);
        painter.drawPoint(center.x()+y,center.y()+x);
        painter.drawPoint(center.x()+y,center.y()-x);
        painter.drawPoint(center.x()-y,center.y()+x);
        painter.drawPoint(center.x()-y,center.y()-x);
    }
}

 

Bresenham画圆算法

思想参见直线的Bresenham画法 【计算机图形学】基本图形元素：直线的生成算法

【算法流程图】

【算法代码】

void PaintArea::drawCircleBresenham(QPainter &painter,const QPoint ¢er, int r)
{
    int x,y,delta,delta1,delta2,direction;
    x=0;y=r;
    delta=2*(1-r);
    while(y>=0)
    {
       painter.drawPoint(x,y);
        if(delta<0)
        {   delta1=2*(delta+y)-1;
            if(delta1<=0)direction=1; else direction=2; }
        else if(delta>0)
        {   delta2=2*(delta-x)-1;
            if(delta2<=0)direction=2; else direction=3; }
        else  direction=2;
        switch(direction)
        {case 1:
            x++;delta+=2*x+1; break;
        case 2:
            x++; y--; delta+=2*(x-y+1); break;
        case 3:
            y--;delta+=(-2*y+1); break;
        }
    }
}

椭圆弧生成算法

基本同圆弧算法，只是方程变得复杂F(x,y)=(bx)^2+(ay)^2-(ab)^2.
对称性：4分对称，画第一象限
分段依据：斜率为一点

上段圆弧：

 

下段圆弧：

 

【椭圆中点算法流程图】

 

【算法代码】

void PaintArea::drawEllipseMiddle(QPainter &painter,int xCenter,int yCenter, int Rx, int Ry)
{
    int Rx2=Rx*Rx;
    int Ry2=Ry*Ry;
    int twoRx2=2*Rx2;
    int twoRy2=2*Ry2;
    int p,x=0,y=Ry,px=0,py=twoRx2*y;
    void ellipsePlotPoints(QPainter&,int,int,int,int);
    ellipsePlotPoints(painter,xCenter,yCenter,x,y);
    //Region1
    p=round(Ry-(Rx2*Ry)+(0.25*Rx2));
    while(px<py){
        x++;
        px+=twoRy2;
        if(p<0)
            p+=Ry2+px;
        else{
            y--;
            py-=twoRx2;
            p+=Ry2+px-py;
        }
        ellipsePlotPoints(painter,xCenter,yCenter,x,y);
    }
    //Region2
    p=round(Ry2*(x+0.5)*(x+0.5)+Rx2*(y-1)*(y-1)-Rx2*Ry2);
    while(y>0){
        y--;
        py-=twoRx2;
        if(p>0)
            p+=Rx2-py;
        else{ x++;
            px+=twoRy2;
            p+=Rx2-py+px;
        }
        ellipsePlotPoints(painter,xCenter,yCenter,x,y);
    }
}
void ellipsePlotPoints(QPainter &painter,int xCenter,int yCenter,int x,int y)
{    painter.drawPoint(xCenter+x,yCenter+y);
     painter.drawPoint(xCenter-x,yCenter+y);
     painter.drawPoint(xCenter+x,yCenter-y);
     painter.drawPoint(xCenter-x,yCenter-y);
}

软件截图

 

这个绘图软件是用QT写的，我会另外写一篇介绍编程结构，待续~

 

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