有限自动机与建模

前言

在学校学程序设计语言的时候，能接触到的所有例子没有一个跟现实世界是有关系的。大多是关注于语言的细节层次，根本没有模型的概念，而我认为，要真正的让别人理解模型是如何建立的，最好的方法是从一个实实在在的东西开始，逐步的建立一个与物理世界可以有对应关系的模型出来。那样，在以后的实践中，可以很轻易的对未知的对象进行数学建模。OO最大的特点并非继承，多态等概念，而是与物理世界建立对应的关系！

选择有限自动机作为例子来说，有这样几点考虑：

1. 有限自动机几乎是最简单的数学模型，也就是说，它本身就是一个对象
2. 这个东西是计算理论中的一个比较核心的东西，也很有意思
3. 有限自动机的形式化定义很明了，很精确，也很简单

当然，文章的主要目的不是要说有限状态机的计算能力，我们要关注的是如何从例子中掌握建模的基本方法。好吧，开始了：

有限自动机

有限自动机是一种抽象出来的机器，其描述能力和资源(存储)都比较有限。其用途十分广泛，特别在机电一体化中有很多地方用到，而有穷自动机和马尔可夫链的结合是当今模式识别的基础(语音识别，光学字符识别等)。

 

有限自动机的形式化定义很简单，是一个5元组(Q, Σ, δ, q0, F),其中

1. Q是一个有穷集合，称为状态集，定义了自动机所有的状态
2. Σ是一个有穷集合，称为字母表
3. δ是一个转移函数，Q×Σ -> Q
4. q0∈Q 是其实状态
5. F⊆Q 是接受状态集(可以有多个接受状态s)

也就是说，以上几点唯一的确定一个有限自动机，自动机会有两个最终状态，接受或拒绝。

建立模型

好，开始建立模型：

• 首先，我们应该有一个用来描述有限自动机的对象，这个对象有接受输入，进行运算，得出结论等操作。当然，有限自动机也有很多种，确定型的和非确定型的，只要涉及到很多种具有共性的，我们一般会抽象出共性来做接口。
• 其次，我们可以看到，整个形式化定义都是基于集合的，我们应该有一个用以描述集合的对象，这个对象上可以进行添加元素，获取元素，删除元素，获取集合的大小等操作。
• 集合中是什么东西呢? 可以看到有状态，有字母表，我们可以考虑设计一个基类(元素)，基类上可以拿到元素的真实值。
• 这个转移函数如何表示? δ实际上是一个矩阵，类似于数字电子中的真值表，因此我们需要有一个对象来表示这个转移函数，这个对象可以根据当前状态和输入字符来查出一个新的状态来(这就是它为什么叫转移函数的原因)。

抽象到这个粒度，可以看出整个系统中的所有对象我们都可以表示了，然后我们可以对这些对象进行适当的简化：

先看看自动机的接口：

package algorithm.machine;

/**
 * 
 * @author juntao.qiu
 */
public interface StateMachine {
    /**
     * start the state machine
     */
    public void start();
    
    /**
     * set the string to evaluate
     * @param string the <code>string</code> to be evaluate
     */
    public void input(String string);
    
    /**
     * check whether the <code>string</code> is accepted by state machine
     * @return
     */
    public boolean isAccept();
}

 

集合的接口：

package algorithm.machine;

/**
 *
 * @author juntao.qiu
 */
public interface Set {
    /**
     * add a new element into set
     * @param element
     */
    public void add(Element element);
    
    /** 
     * get a element by its index
     * @param index
     * @return
     */
    public Element get(int index);
    
    /**
     * get the size of the set
     * @return size of the set
     */
    public int size();
    
    /**
     * check if the set has element <code>e</code>
     * @param e
     * @return
     */
    public boolean hasElement(Element e);
}

 

集合中元素的接口：

package algorithm.machine;

public interface Element {
    /**
     * get the real value of an element
     * @return
     */
    public String getValue();
}

 

转移函数：

package algorithm.machine;

public interface Matrix {
    /**
     * get the value while x is an element of State-Set, and
     * an element of Epsilon-Set
     * @param x an element of <code>StateSet</code>
     * @param y an element of <code>EpsilonSet</code>
     * @return
     */
    public Element getElementAt(Element x, Element y);
}

 

接口是最简洁的抽象层次，可以从接口中很清晰的看出整个系统的结构来，所以这里只给出接口的定义，源码可以给出下载链接。

测试

我们来看看Main中的测试，然后就可以知道为什么要这样抽象，这样建模，main中是整个系统运行的脉络，如果接口定义的比较合理，清晰，那么代码读起来会很流畅，希望下面的代码读起来比较流畅，呵呵。

 

    public static void main(String[] args){
        Set stateSet = new GeneralSet();//建立状态集
        Set epsilonSet = new GeneralSet();//建立符号表
        Set finalSet = new GeneralSet();//接受状态集
        
        stateSet.add(new State("Q0"));
        stateSet.add(new State("Q1"));
        stateSet.add(new State("Q2"));
        
        epsilonSet.add(new State("0"));
        epsilonSet.add(new State("1"));
        
        finalSet.add(new State("Q1"));//接受状态为Q1
        
        /*
         * The transfer matrix
         *     | 0  1
         * ----*--------
         *  Q0 | Q0 Q1
         *  Q1 | Q2 Q1
         *  Q2 | Q1 Q1
         *   
         */
        String[][] tran = new String[][]{
                {"Q0", "0", "Q0"},
                {"Q0", "1", "Q1"},
                {"Q1", "0", "Q2"},
                {"Q1", "1", "Q1"},
                {"Q2", "0", "Q1"},
                {"Q2", "1", "Q1"}
        };
        
        TransferMatrix matrix = new TransferMatrix(tran);//定义转移函数表
        //根据5元组构造一个状态机
        StateMachine machine = new FiniteStateMachine(
                stateSet, epsilonSet,matrix,new State("Q0"),finalSet);
        
        machine.input("0100010101011");//在状态机上进行输入
        machine.start();//开始计算
        //判断是否被接受
        if(machine.isAccept()){
            System.err.println("string is accepted");
        }else{
            System.err.println("string is not accepted");
        }
    }

 

 P.S. 本来要插入几张图片的，不知道为什么编辑到一半的时候插入图片老是插不进去，出来的对话框不知道怎么上传本地的图片。

评论

1 楼 lancezhcj 2014-12-17  

有图会直观的多呢，再摸索摸索