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欧拉定理 (数论)

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数论欧拉定理(也称费马-欧拉定理欧拉{\varphi}函数定理: 若m,a为正整数,且m,a互素,(gcd(a,m) = 1),则a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod m,其中\varphi(m)欧拉函数\mod m同余关系。

欧拉定理实际上是费马小定理的推广。

这个定理可以用来简化幂的模运算。比如计算7222的个位数,实际是求7222被10除的余数。7和10互素,且\varphi(10)=4。由欧拉定理知7^4\equiv 1\pmod {10}。所以7^{222}= 7^{4\cdot 55+2}= (7^4)^{55}\cdot 7^2\equiv 1^{55}\cdot 7^2\equiv 49\equiv 9\pmod{10}

一般地,在简化幂的模运算的时候,(当an互素) 我们要对a的指数取模\varphi(n)

x\equiv y \pmod {\varphi(n)},则a^x \equiv a^y \pmod n

 

评语:牛B!!!

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