利用动态规划解决兑换问题

      问题是这样的：某个国家一共发行了a1,a2,a3,...,ak种不同面值的钞票，为了方便起见，假设a1，a2，a3，...ak依次增大。现在手上有的钱数为n，请问要如何把兑换成a1,a2,a3,...,ak这些钞票，使得所用的钞票的量为最少。这个问题看上去很简单，举一个例子，如果有1元，5元，10元3种钞票，而要兑换107元，于是就有a1=1，a2=5，a3=10，n=107。那么我们用面额最大的去除，那就是最大面额钞票的张数，比如说n/a3=107/10=10，亦即10元的10张；除过之后就有余数7，再用次大面额钞票去除，7/5=1,余数为2,所以5元钞票为1张；再把余数用第三大的面额去除，2/1=2,余数为0，于是一元的2张，没有剩下的钞票了，因此结果就是10元的7张，5元的1张，1元的2张。不过对有1元，5元，10元这个例子倒是正确，那么如果面额换为1元，3元，4元，要兑换10元的钞票呢？用上面的方法算一下，就是4元的2张，1元的2张，一共用了4张的钞票。但是若用2张3元的，1张4元的也能兑换出10元的，但却只用了3张钞票。所以看来平常的方法并不能解决“使所用钞票的量为最少”这个问题
     这个问题有很多的解法，这里只想介绍利用动态规划(Dynamic Programming)和回溯的技巧来解决。
     首先说说用到的数据结构，假设n是要兑换的钱数，k是能够提供的面额数目，如果要兑换100元，提供面额为1元，5元，7元的3种钞票于是有n=100，k=3。用一个数组base[]把面额先保存好，因此就有base[0]=1，base[1]=5，base[2]=7。但是这里我们假设一定提供面额为一元的钞票，否则可能有一些值兑换不出来。我们再用一个数组money[]存放兑换的钞票数，因此money[i]就是i元钱兑换出来的钞票数，由于money[0]表示0元兑换出来的钞票数，那么很自然就是0了，money[1]按照上面的假设一定是1。
     其次我们说说具体的算法，假设现在要兑换i元，先看i-base[0]，i-base[1]，... ，i-base[k-1]是什么。例如：i=10,而面额是{1,3,4}，于是这几个值就是10-1=9，10-3=7，10-4=6，换句话说，如果已经兑换好了9元7元或6元的话，要兑换十元只不过是加一张钞票而已。因此，在i-base[j]的情况下，就是多一张j元。但是，如何知道兑换i-base [j]要多少张钞票呢？别忘了money[]啊，该钞票的张数就在money[i-base[j]]中。如果已经已经兑换出i-base[j]元，用了money[i-base[j]]张钞票，于是再多加一张base[j]元就可以兑换出i元了，这样兑换i元一共用了money[i-base[j]]+1张钞票。
      但是我们还没有解决题目所要求的钞票张数最少的问题，所以我们就要求出各个money[i-base[j]]+1的极小值来(j=1,2,...,k)，再存在money[i]中，于是money[i]就是兑换i元的最少钞票张数了。要注意：因为i-base[j]一定小于i，所以在计算money[i]时，在i之前的值就一定要先算出来，这样money[i-base[j]]才会一个有意义的值。
      说了很多，下面看看一个具体的规划的表格，还是以n=10，base[]={1,3,4}为例：

                                    i                 money[i]               i-base[j]
                              ------------------------------------------------------------
                                   0                     0                        --, --  , --
                                   1                     1                        --, --  , --
                                   2                     2                    2-1, 2-3*, 2-4*
                                   3                     1                    3-1, 3-3 , 2-4*
                                   4                     1                    4-1, 4-3 , 4-4
                                   5                     2                    5-1, 5-3 , 5-4
                                   6                     2                    6-1, 6-3 , 6-4  
                                   7                     2                    7-1, 7-3 , 7-4
                                   8                     2                    8-1, 8-3 , 8-4
                                   9                     3                    9-1, 9-3 , 9-4
                                 10                     3                  10-1,10-3 ,10-4                       
                             -------------------------------------------------------------
     *表示小于零，不用理会极小值，只要根据表格进行回溯就能得出结果了，看表格发现用10-3和10-4进行回溯的结果是一样的，也就是3+3+4=10和4+4+3=10的道理了，C语言的代码如下： 

#include  <stdio.h></stdio.h>
#include  <stdlib.h></stdlib.h>
#define   MAXSIZE   100
#define   min(a,b)  ((a) <= (b) ? (a) : (b))

int  main(void)  {
       int  money[MAXSIZE+1];
       int  base[] = { 1, 3, 4 };
       int  k = sizeof(base)/sizeof(int);
       int  n;
       int  i, j, MIN;
       char line[100];
       printf("\nMinimum Money Change Program");
       printf("\n----------------------------");
       printf("\n\nBase Values : ");
       for (i = 0; i < k; i++)
              printf("%d ", base[i]);
       printf("\n\nYour input please --> ");
       gets(line);
       n = atoi(line);
       money[0] = 0;
       money[1] = 1;
       for (i = 2; i <= n; i++)  {
                 MIN = n;
                 for (j = 0; j < k; j++)
                         if (i >= base[j])
                                  MIN = min(money[i-base[j]]+1, MIN);
                 money[i] = MIN;
       }
       printf("\n\nMinimum = %d", money[n]);
       getchar();
}

     当然这个程序还有一个不足，那就是没有将每个面额的钞票的张数输出，还需要对程序进行一些改进，有兴趣一起研究一下吧...