问题描述:数列求和

分析发现,对待第n项和第n-1项做差发现,n^2-(n-1)^2 = 2n-1 这是一个等差数列.现在问题转换为:如何计算一个二阶等差数列的和?
那么什么是二阶等差数列呢,这里先来谈谈K阶等差数列:
1.对于一个给定的数列,把它的连结两项an+1与an的差an+1-an记为bn,得到一个新数列,把数列bn你为原数列的一阶差数列,如果cn=bn+1-bn,则数列是的二阶差数列依此类推,可得出数列的p阶差数列
2.如果某数列的p阶差数列是一非零常数列,则称此数列为p阶等差数列
3.高阶等差数列是二阶或二阶以上等差数列的统称
4.高阶等差数列的性质:
(1)如果数列是p阶等差数列,则它的一阶差数列是p-1阶等差数列
(2)数列是p阶等差数列的充要条件是:数列的通项是关于n的p次多项式
(3) 如果数列是p阶等差数列,则其前n项和Sn是关于n的p+1次多项式
对待已知次数的多项式,我们当然可以采用待定系数法.
现在回到这个问题上,由上面的解释 我们不由得出平方和数列是一个二阶等差数列,那么其和S(n)应当是关于n的三次多项式,现在假设
S(n) = a*N^3+b*N^2+c*N+d
取S(1) S(2) S(3) S(4)代入计算得
S(n) = n(n+1)(2n+1)/6

- 大小: 2.4 KB
分享到:
相关推荐
* 阅读教材P.42到P.44,了解高三数学数列等差数列的知识点。 * 阅读《学案》P.41-P.42的双基训练,了解高三数学数列等差数列的知识点。 九、课后作业 * 完成高三数学数列等差数列的习题,巩固知识点。 * 回顾高三...
上述命题的证明涉及代数恒等式的推导,它不仅为我们提供了一个处理等差数列平方和问题的新工具,而且揭示了等差数列项和公差之间深层的内在联系。通过这个关系,我们可以更有效地解决一些特定的数学问题。 例如,在...
此外,等差数列的单调性直接取决于公差的正负,这一点是分析递增和递减等差数列的基本出发点。 在探讨等差数列的最值问题时,我们需要综合考虑公差的正负以及数列项的大小关系。对于一个递增的等差数列,公差必定...
例如,在习题的第4题中,为了在-1和8之间插入两个数a和b使得这四个数成等差数列,我们需要利用等差数列的性质来求解公差d。 对于第1题,我们可以通过求解二次函数an=-n2+17n+8的最大值来找到数列的最大项。最大...
2. 对于等比数列,如果公比不为1,且第k项的平方等于第2k项和第k-1项的乘积,那么这个数列也是等差数列,公差为公比减1的两倍。 3. 如果一个数列既是等差数列又是等比数列,这意味着这个数列的所有项都相等,即它是...
3. 等差数列的乘积和平方: - 如果等差数列的两项是无理数,那么根据性质,该数列的每一项都可能是无理数,但不一定是。例如,数列1,√2,√2 + √2等。 - 当数列的某些项是特定有理数时,其他项可能是有理数或...
当数列{an}是等差数列时,其平方项不一定构成等差数列,但如第五题所示,若取{an}的相邻两项之和或之差,则它们构成的新数列仍然是等差数列。 6. **性质6:等差数列的几何意义** 等差数列的图像在数轴上表现为...
等差数列拥有一些特殊的性质,如数列中某项与其位置的平方和仍然保持等差关系等,正确应用这些性质可简化问题的求解。 8. 等差数列中对称设项法的应用题型。对称设项法是一种解题技巧,通过假设数列中的某些项为...
【例5】中,我们有三个数成等差数列,总和为15,平方和为83。通过设立方程组,我们可以解出这三个数,这是典型的代数问题。 【例6】证明了如果a、b、c成等差数列,那么b+c,c+a,a+b也成等差数列。这个证明利用了等...
综上所述,等差数列是数学中的基本概念,它涉及到一系列与之相关的性质、公式和应用。这些问题涵盖了等差数列的通项公式、等差中项、等差数列的性质以及它们在几何、代数和实际问题中的应用。通过解答这些问题,我们...
更进一步,等差数列的应用还扩展到解答复杂的数学问题,如数列的平方和问题。这类问题要求学生不仅要理解等差数列的性质,还需要有较强的代数变形能力和逻辑推理能力。这类题目通常需要学生建立方程组,通过数学推导...
总结来说,等差数列是高中数学中的核心概念,不仅涉及到基础的定义、性质,还包括等差中项、公差的计算、数列的构建和验证,以及等差数列在实际问题和函数解析中的应用。理解并熟练掌握这些知识点对于解决相关问题至...
关键在于等差数列的中项性质和等比中项的平方关系。 9. 对于等比数列和等差数列的结合,我们可以通过对数和指数的运算来寻找关系。这里需要找到一个常数a,使得log_a(an)-bn不依赖于n,这涉及到等差和等比数列的...
3. 设等差数列的前 \( k \) 项和为 \( S_k \),若 \( S_{2k} = 60 \),则根据等差数列性质,\( S_k = \frac{S_{2k}}{2} = 30 \)。因此,答案是 \( 30 \)。 4. 对于等差数列 \( a_n \),如果 \( S_{11} = 1188 \),...
等差数列是高中数学中的一个基础且重要的概念,它涉及到序列、求和以及数列的性质。在本文中,我们将深入探讨等差数列的前n项和及其相关问题。 首先,等差数列的定义是:一个数列{an}如果满足an+1-an=d(d为常数)...
第十题设定了四个等差数列的项,并利用平方和及项的乘积关系求解。 最后两道选择题考察了等差数列的和以及数列的组合,如{an+bn}仍然是等差数列,其和可以直接由原数列的和推算出来。 总之,这些练习题覆盖了等差...
在解决实际问题时,如问题6的“八子分绵”,可以将问题转化为等差数列的问题,利用等差数列的和公式找到每个儿子分到的绵数。 等差数列的前n项和的最大值通常发生在首项与末项接近相等时,即n接近于首项与末项差的...
例如,等差数列中任意连续三项可以构成一个等腰三角形的边长,所以这三项的平方和等于两腰的平方和加上底边的平方。此外,等差数列的中项性质也是一个重要工具,它指出如果三个数\( a \)、\( b \)、\( c \)成等差...
第二部分的题目探讨了等差数列的平方项是否构成等差数列,通过反例证明了这不一定成立。同时,也讨论了等差数列的倍数是否构成等差数列,如2a,2b,2c,在某些情况下可能构成等差数列,比如当a=b=c时。 第三部分的...
例如,在例3中,通过证明x,y,z的平方和乘以对应的另一项之和,可以得到等差中项的关系,进而证明数列为等差数列。 在实际解题过程中,通常需要根据具体题目灵活运用这些方法。例如,当题目给出的条件直接与定义...