微积分之屠龙宝刀学习笔记2——导数的极限定义：求导数的麻烦方法

chapter11 导数的极限定义：求导数的麻烦方法

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“导数是用来度量函数的变化有多快的”，这到底是什么意思呢？

如图是两个函数y=g(x) 与 y= f(x)的图像。明显地，g(x)的图像随着x的增加的程度，远比f（x）的图像大得多。如果这两条曲线都代表长时间下来的利润函数，那么我们铁定非常喜欢g(x).原因是g(x)陡峭得多，意味着利润会增加得相当快。

 

当然，光这样比较，仍然不够明确，我们还想知道自己的利润究竟增加得多快，好在家人团聚的时候，说出明确的数字，让众亲们刮目相看。换句话说，我们想知道如何精确度量出函数图像在x那一点的斜率。

 

但是，曲线的斜率到底是指什么呢？

目前为止，我们只知道怎么去解释直线的斜率，因此，我们得先取一条通过点(x,g(x))的直线，让它的倾斜程度与该曲线相同，然后度量出这条直线的斜率。在此将其当做该曲线的斜率。

 

我们要找的直线，会与函数曲线在点（x, g（x））附件依稀接近，我们称这条直线为曲线的切线。

因此，函数y = g（x）在x的导数，正好等于函数曲线在点（x, g（x））处之切线的斜率。

 

还有一个问题，如何确定曲线在某点的切线，也就是通过x的直线有无数条，如何确定它的切线呢？

我们可以用如下图所示的方法来求出函数的切线。

 

上图中的割线S的斜率=

 
 这时候如果去移动第二个点，让它沿着g（x）的曲线逐渐靠近第一个点，也就是让h缩小，最后变成0，割线S就会逐步转动，渐渐靠近切线T，向切线T逼近。

 因此，h->0, 斜率（S）-》斜率（T）

 

 从该公式可以看出来，函数g（x）在x处的导数，可以通过极限来求出来；另外，再次印证了导数就是用来函数在该点的变化率的。