微积分之屠龙宝刀学习笔记1——函数的连续性、导数

当我们说极限存在时，是指该函数在该点左右极限都存在，并且相等。

 

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chapter9 连续性

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函数连续性：当我们画函数图像时，笔尖不用离开纸面，一笔到底、一气呵成。

9.1图中的两个函数具有连续性，而9.2图中两个函数在x=2出现了断点，因此，不具有连续性。

 

 

 

连续性的3个条件

 

 

举例说明：

例1：

 该函数在x = 2点有定义域、存在极限，但是极限的值不等于函数的值，因此不满足条件（3），所以在x=2,不具有连续性。

 例2：

 该函数在x=2点不存在极限，因为在该点的左右极限不相等，因此函数在x=2不连续。

 

例3：

 观察可知，该函数在x=2不存在定义域，不存在极限，3个条件都不成立。

 

 

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chapter10  何谓导数，变才是硬道理

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导数，其实很简单，一言以蔽之，就是“斜率”

 如图，假设你现在正背着一头打了麻醉的羊，走上山坡，山脚下的坐标为原点，当你从山脚走上山坡的时候，你的x、y坐标都同时随着你的移动而改变，事实上都在增加。如果H(x)为在x点上的山坡的高度，y=f（x）的函数的点所连成的曲线就是这个山坡的轮廓。

由于你关心山坡的陡峭程度，而h(x)的导数，正是这个山坡在x点的陡峭程度，我们用h`(x)来表示。

 

假如，h`(10) = 1/6，这就表示你在x方向上走了10英尺之后，到达的新位置的陡峭程度等于1/6。而所谓的陡峭程度1/6，是反映你在水平方向每移动1英尺，你必须垂直向上移动2英寸（= 斜率*x = 1/6英尺 = 1/6*12=2英寸）

h`(30) = -2，表示当x=30时，脚底下的地面每横移1英尺，就会在垂直方向移动-2英尺。也就是说你在走下坡路。

 

函数y=f(x)的导数f`(x),表示该函数的变化率。如果导数是个很大的正值，表示该函数正在疾速递增；如果到时是个相当小的正值，表示函数也在递增，只是递增得很缓慢。若导数是个负值，表示函数在递减，如果导数等于0，表示函数至少在此瞬间是既不递增、也不递减，维持水平。