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去年年底写的关于位运算的日志是这个Blog里少数大受欢迎的文章之一,很多人都希望我能不断完善那篇文章。后来我看到了不少其它的资料,学习到了更多关于位运算的知识,有了重新整理位运算技巧的想法。从今天起我就开始写这一系列位运算讲解文章,与其说是原来那篇文章的follow-up,不如说是一个remake。当然首先我还是从最基础的东西说起。
什么是位运算?
程序中的所有数在计算机内存中都是以二进制的形式储存的。位运算说穿了,就是直接对整数在内存中的二进制位进行操作。比如,and运算本来是一个逻辑运算符,但整数与整数之间也可以进行and运算。举个例子,6的二进制是110,11的二进制是1011,那么6 and 11的结果就是2,它是二进制对应位进行逻辑运算的结果(0表示False,1表示True,空位都当0处理):
110
AND 1011
———-
0010 –> 2
由于位运算直接对内存数据进行操作,不需要转成十进制,因此处理速度非常快。当然有人会说,这个快了有什么用,计算6 and 11没有什么实际意义啊。这一系列的文章就将告诉你,位运算到底可以干什么,有些什么经典应用,以及如何用位运算优化你的程序。
Pascal和C中的位运算符号
下面的a和b都是整数类型,则:
C语言 | Pascal语言
——-+————-
a & b | a and b
a | b | a or b
a ^ b | a xor b
~a | not a
a << b | a shl b
a >> b | a shr b
注意C中的逻辑运算和位运算符号是不同的。520|1314=1834,但520||1314=1,因为逻辑运算时520和1314都相当于True。同样的,!a和~a也是有区别的。
各种位运算的使用
=== 1. and运算 ===
and运算通常用于二进制取位操作,例如一个数 and 1的结果就是取二进制的最末位。这可以用来判断一个整数的奇偶,二进制的最末位为0表示该数为偶数,最末位为1表示该数为奇数.
=== 2. or运算 ===
or运算通常用于二进制特定位上的无条件赋值,例如一个数or 1的结果就是把二进制最末位强行变成1。如果需要把二进制最末位变成0,对这个数or 1之后再减一就可以了,其实际意义就是把这个数强行变成最接近的偶数。
=== 3. xor运算 ===
xor运算通常用于对二进制的特定一位进行取反操作,因为异或可以这样定义:0和1异或0都不变,异或1则取反。
xor运算的逆运算是它本身,也就是说两次异或同一个数最后结果不变,即(a xor b) xor b = a。xor运算可以用于简单的加密,比如我想对我MM说1314520,但怕别人知道,于是双方约定拿我的生日19880516作为密钥。1314520 xor 19880516 = 20665500,我就把20665500告诉MM。MM再次计算20665500 xor 19880516的值,得到1314520,于是她就明白了我的企图。
下面我们看另外一个东西。定义两个符号#和@(我怎么找不到那个圈里有个叉的字符),这两个符号互为逆运算,也就是说(x # y) @ y = x。现在依次执行下面三条命令,结果是什么?x <- x # y
y <- x @ y
x <- x @ y
执行了第一句后x变成了x # y。那么第二句实质就是y <- x # y @ y,由于#和@互为逆运算,那么此时的y变成了原来的x。第三句中x实际上被赋值为(x # y) @ x,如果#运算具有交换律,那么赋值后x就变成最初的y了。这三句话的结果是,x和y的位置互换了。
加法和减法互为逆运算,并且加法满足交换律。把#换成+,把@换成-,我们可以写出一个不需要临时变量的swap过程(Pascal)。procedure swap(var a,b:longint);
begin
a:=a + b;
b:=a - b;
a:=a - b;
end;
好了,刚才不是说xor的逆运算是它本身吗?于是我们就有了一个看起来非常诡异的swap过程:procedure swap(var a,b:longint);
begin
a:=a xor b;
b:=a xor b;
a:=a xor b;
end;
=== 4. not运算 ===
not运算的定义是把内存中的0和1全部取反。使用not运算时要格外小心,你需要注意整数类型有没有符号。如果not的对象是无符号整数(不能表示负数),那么得到的值就是它与该类型上界的差,因为无符号类型的数是用$0000到$FFFF依次表示的。下面的两个程序(仅语言不同)均返回65435。var
a:word;
begin
a:=100;
a:=not a;
writeln(a);
end.#include <stdio.h>
int main()
{
unsigned short a=100;
a = ~a;
printf( "%dn", a );
return 0;
}
如果not的对象是有符号的整数,情况就不一样了,稍后我们会在“整数类型的储存”小节中提到。
=== 5. shl运算 ===
a shl b就表示把a转为二进制后左移b位(在后面添b个0)。例如100的二进制为1100100,而110010000转成十进制是400,那么100 shl 2 = 400。可以看出,a shl b的值实际上就是a乘以2的b次方,因为在二进制数后添一个0就相当于该数乘以2。
通常认为a shl 1比a * 2更快,因为前者是更底层一些的操作。因此程序中乘以2的操作请尽量用左移一位来代替。
定义一些常量可能会用到shl运算。你可以方便地用1 shl 16 – 1来表示65535。很多算法和数据结构要求数据规模必须是2的幂,此时可以用shl来定义Max_N等常量。
=== 6. shr运算 ===
和shl相似,a shr b表示二进制右移b位(去掉末b位),相当于a除以2的b次方(取整)。我们也经常用shr 1来代替div 2,比如二分查找、堆的插入操作等等。想办法用shr代替除法运算可以使程序效率大大提高。最大公约数的二进制算法用除以2操作来代替慢得出奇的mod运算,效率可以提高60%。
位运算的简单应用
有时我们的程序需要一个规模不大的Hash表来记录状态。比如,做数独时我们需要27个Hash表来统计每一行、每一列和每一个小九宫格里已经有哪些数了。此时,我们可以用27个小于2^9的整数进行记录。例如,一个只填了2和5的小九宫格就用数字18表示(二进制为000010010),而某一行的状态为511则表示这一行已经填满。需要改变状态时我们不需要把这个数转成二进制修改后再转回去,而是直接进行位操作。在搜索时,把状态表示成整数可以更好地进行判重等操作。这道题是在搜索中使用位运算加速的经典例子。以后我们会看到更多的例子。
下面列举了一些常见的二进制位的变换操作。
功能 | 示例 | 位运算
———————-+—————————+——————–
去掉最后一位 | (101101->10110) | x shr 1
在最后加一个0 | (101101->1011010) | x shl 1
在最后加一个1 | (101101->1011011) | x shl 1+1
把最后一位变成1 | (101100->101101) | x or 1
把最后一位变成0 | (101101->101100) | x or 1-1
最后一位取反 | (101101->101100) | x xor 1
把右数第k位变成1 | (101001->101101,k=3) | x or (1 shl (k-1))
把右数第k位变成0 | (101101->101001,k=3) | x and not (1 shl (k-1))
右数第k位取反 | (101001->101101,k=3) | x xor (1 shl (k-1))
取末三位 | (1101101->101) | x and 7
取末k位 | (1101101->1101,k=5) | x and (1 shl k-1)
取右数第k位 | (1101101->1,k=4) | x shr (k-1) and 1
把末k位变成1 | (101001->101111,k=4) | x or (1 shl k-1)
末k位取反 | (101001->100110,k=4) | x xor (1 shl k-1)
把右边连续的1变成0 | (100101111->100100000) | x and (x+1)
把右起第一个0变成1 | (100101111->100111111) | x or (x+1)
把右边连续的0变成1 | (11011000->11011111) | x or (x-1)
取右边连续的1 | (100101111->1111) | (x xor (x+1)) shr 1
去掉右起第一个1的左边 | (100101000->1000) | x and (x xor (x-1))
最后这一个在树状数组中会用到。
Pascal和C中的16进制表示
Pascal中需要在16进制数前加$符号表示,C中需要在前面加0x来表示。这个以后我们会经常用到。
整数类型的储存
我们前面所说的位运算都没有涉及负数,都假设这些运算是在unsigned/word类型(只能表示正数的整型)上进行操作。但计算机如何处理有正负符号的整数类型呢?下面两个程序都是考察16位整数的储存方式(只是语言不同)。var
a,b:integer;
begin
a:=$0000;
b:=$0001;
write(a,' ',b,' ');
a:=$FFFE;
b:=$FFFF;
write(a,' ',b,' ');
a:=$7FFF;
b:=$8000;
writeln(a,' ',b);
end.#include <stdio.h>
int main()
{
short int a, b;
a = 0x0000;
b = 0x0001;
printf( "%d %d ", a, b );
a = 0xFFFE;
b = 0xFFFF;
printf( "%d %d ", a, b );
a = 0x7FFF;
b = 0x8000;
printf( "%d %dn", a, b );
return 0;
}
两个程序的输出均为0 1 -2 -1 32767 -32768。其中前两个数是内存值最小的时候,中间两个数则是内存值最大的时候,最后输出的两个数是正数与负数的分界处。由此你可以清楚地看到计算机是如何储存一个整数的:计算机用$0000到$7FFF依次表示0到32767的数,剩下的$8000到$FFFF依次表示-32768到-1的数。32位有符号整数的储存方式也是类似的。稍加注意你会发现,二进制的第一位是用来表示正负号的,0表示正,1表示负。这里有一个问题:0本来既不是正数,也不是负数,但它占用了$0000的位置,因此有符号的整数类型范围中正数个数比负数少一个。对一个有符号的数进行not运算后,最高位的变化将导致正负颠倒,并且数的绝对值会差1。也就是说,not a实际上等于-a-1。这种整数储存方式叫做“补码”。
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