初窥JVM浮点运算

欢迎来到“Under The Hood”第四期。上期我们讨论了JVM的字节码指令集，本期我们继续这个话题。本文我们来看看JVM中的浮点运算。

 

JVM支持IEEE-754浮点数标准（1985）。该标准定义了32位和64位浮点数的格式，以及在此之上的各种运算。在JVM中，浮点运算是基于32位float数和64位double数的。对每个操作float数的字节码，都有一个对应的操作double数的版本。

  

浮点数由4部分组成：数符（sign），尾数（mantissa），基数（radix）和阶码（exponent）。数符取1或-1。尾数是一个正数，它持有浮点数的有效位。阶码是尾数和符号位应该乘以的基数的正（负）幂数。这4个部分用下面的公式得到浮点数的值：

 

sign * mantissa * radixexponent

 

浮点数有很多种表现形式，因为你总是可以把浮点数的尾数乘以基数的某次幂，然后通过改变阶码的方式获得原先的值。例如，-5可以写成如下以10为基数的形式：   

 

Sign	Mantissa	Radix	Exponent
-1	50	10	-1
-1	5	10	0
-1	0.5	10	1
-1	0.05	10	2

 

每个浮点数都有一个规范化的表示形式。如果浮点数的尾数符合下面的公式，我们就说这个浮点数是规范化的。

 

1/radix <= mantissa < 1

 

规范化的以10为基数的浮点数，尾数的小数点出现在第一个非0的有效位前面。-5的规范化形式是-1*0.5*10 1。也就是说，规范化的浮点数中，小数点的左边是0，右边第一位不是0。其他不是这种形式的浮点数都是非规范化数。注意，0没有规范化的形式，因为它没有非0数放在小数点后面。数字0们总是感叹“为什么要规范化我们呢？”。

 

JVM中的浮点数以2为基数，所以JVM中的浮点数值用下面的公式获得：

 

sign * mantissa * 2exponent

 

JVM中的浮点数的尾数用2进制数表示。规范化的二进制数小数点出现在非0最高有效位前面。由于二进制数系统只有2个数字，1和0，所以最高有效位上的数字总是1。

 

float和double数的最高有效位是它的符号位，float的最后23位是尾数位，而double则为最后52位。阶码处在符号位和尾数中间，float为8位，double为11位。float的完整2进制形式如下，s表示符号位，e表示阶码，m表示尾数。

 

s eeeeeeee mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm

正数的符号位为0，负数的符号位为1。尾数总是一个正的二进制数，但不是二进制补码数。如果符号位为1，浮点数的值是负的，但尾数仍然是正的。

 

阶码有3种解释方式。如果阶码位全是1，意味着这是一个特殊的浮点数，表示正无穷或负无穷，或者不是一个数（NaN）。NaN是特定运算的结果，比如除法的除数是0。阶码的所有位为0，表示这是一个非规范化的浮点数。除上面2种情况之外的阶码，都是规范化浮点数的一部分。

 

尾数部分其实隐式包含了一个额外的精度位。float数的尾数占23位，却有24个精度位；同一样的，double数的尾数占52位，却有53个精度位。因为尾数部分的最高有效位是可以被预测的，所以并没有包含在尾数中。JVM中，浮点数的阶码可以指明该数是不是一个规范化浮点数。如果阶码位全0，则为非规范化数，且最高有效位肯定是0。其他情况下，则为规范化浮点数，且最高有效位肯定是1。

 

在JVM中，任何浮点运算都不会抛出异常。类似除数为0的问题操作，JVM会返回一些特殊值，比如正/负无穷，或NaN。尾数位全是0的情况下，如果阶码位全是1，符号位是0，则表示正无穷；如果阶码位全是1，符号位是1，则表示负无穷。如果阶码位全是1，尾数位不全是0，则表示NaN。JVM总是为NaN使用相同的尾数：最高有效位是1，其他全为0。下表列出了上面提到的3中特殊值：

 

Special float values	Float bits (sign exponent mantissa)
+Infinity	0 11111111 00000000000000000000000
-Infinity	1 11111111 00000000000000000000000
NaN	1 11111111 10000000000000000000000

 

非全0和非全1的阶码表示规范化尾数要乘以的2的幂数。可以把阶码当做一个正数，然后减去一个偏移量，这样就能得到实际的幂数。对float数来说，偏移量是126；而double数，则为1023。例如，一个float数的阶码为00000001，则幂数为-125（1 – 126），这是float中最小的幂数。再看一个例子，如果阶码是11111110，则幂数为128（254 – 126），这是float中最大的幂数。下表列出了一些正规化的浮点数：

 

Normalized float values	Float bits (sign exponent mantissa)	Unbiased exponent
Largest positive (finite) float	0 11111110 11111111111111111111111	128
Largest negative (finite) float	1 11111110 11111111111111111111111	128
Smallest normalized float	1 00000001 00000000000000000000000	-125
Pi	0 10000000 10010010000111111011011	2

 

阶码位全0，说明尾数没有规范化，也隐含说明了最高有效为是0，而不是1。这种情况下，幂数为浮点数的最小幂数。对float来说，是-125。这意味着，规范化尾数乘以2 -125的浮点数，它的阶码为00000001，而非规范化尾数乘以2 -125的浮点数，它的阶码为00000000。阶码范围底端的非规范化数修正值，使得下溢出较为平缓。如果最小阶码用来表示规范化数，下溢成0的最小数值会更大一些。 换句话说，让最小阶码表示非规范化数，可以使浮点数能表示更小的数值。虽然非规范化数的精度没有规范化数高，但是，这相对于阶码一旦达到最小规范化数值，浮点数就会下溢成0来说，非规范化数更好一些。

 

Denormalized float values	Float bits (sign exponent mantissa)
Smallest positive (non-zero) float	0 00000000 00000000000000000000001
Smallest negative (non-zero) float	1 00000000 00000000000000000000001
Largest denormalized float	1 00000000 11111111111111111111111
Positive zero	0 00000000 00000000000000000000000
Negative zero	1 00000000 00000000000000000000000

 

本文译自：Floating-point arithmetic

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