数论同余函数学习——青蛙约会

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

 

 

 

问题解决：

 

此问题需要用到同余函数的思想，而同余函数的解法又要用到欧几里得算法求解。

分析一：得出方程，建立模型

　　设过s步后两青蛙相遇，则必满足以下等式：

　　　　(x+m*s)-(y+n*s)=k*l(k=0,1,2....)

　　   稍微变一下形得：

　　　　(n-m)*s+k*l=x-y

       令n-m=a,l=b,x-y=c,即

　　　　a*s+b*k=c  //得出这个方程是关键

        此处a，b，c为常数，s，k为未知数，s为跳s次后相遇。

　　只要上式存在整数解，则两青蛙能相遇，否则不能。

首先想到的一个方法是用两次for循环来枚举s,k的值，看是否存在s,k的整数解，若存在则输出最小的s，但显然这种方法是不可取的，谁也不知道最小的s是多大，如果最小的s很大的话，超时是明显的。

 

  学习：如何解这个方程？用欧几里得扩展原理

    先来看看欧几里得算法：

　　欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数

　　定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)   // gcd代表最大公约数

证明如下：

a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

　　假设d是a,b的一个公约数，则有

　　d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

　　因此d是(b,a  mod b)的公约数

　　假设d 是(b,a mod b)的公约数，则

　　d | b , d |r ，但是a = kb +r

　　因此d也是(a,b)的公约数

　　因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

　　欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用C语言描述为：　

　　int Gcd(int a, int b)

　　{

    　　if(b == 0)

        　　return a;

    return Gcd(b, a % b);

　　}

　　当然你也可以写成迭代形式：

　　int Gcd(int a, int b)

　　{

    　　while(b != 0)

    　　{

        　　int r = b;

　　        b = a % b;

    　　    a = r;

    　　}

    　　return a;

　　}

补充: 扩展欧几里德算法是用来求解a*x+b*y=Gcd(a,b)的解(根据数论中的相关定理解一定存在)。  证明如下

ax+by

=gcd(a,b)          

=gcd(b,a%b)

= bx'+(a%b) y'    

=bx'+ ( a- (a/b) *b)y'

=bx'+ ay'- (a/b) *b *y'

=ay'+ b(x'- (a/b) y')

所以ax+by=ay'+ b(x'- (a/b) y')

所以x=y'，y=x'- (a/b) y'

下面是一个使用C++的实现：

　　int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)

　　{

    　　if(b == 0)

    　　{

        　　x = 1;

        　　y = 0;

       　　 return a;

    　　}

    　　int r = exGcd(b, a % b, x, y);

    　　int t = x;

    　　x = y;

    　　y = t - a / b * y;

　　    return r;

　　}

利用扩展欧几里得算法求解不定方程a * x + b * y = n的整数解的求解全过程，步骤如下：

　　1、先计算Gcd(a,b)，若n不能被Gcd(a,b)整除，则方程无整数解；否则，在方程两边同时除以Gcd(a,b)，得到新的不定方程a' * x + b' * y = n'，此时Gcd(a',b')=1;

    2、利用扩展欧几里德算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一组整数解x0,y0，则n' * x0,n' * y0是方程a' * x + b' * y = n'的一组整数解；

　　3、根据数论中的相关定理，可得方程a' * x + b' * y = n'的所有整数解为：

        x = n' * x0 + b' * t

y = n' * y0 - a' * t    (t=0,1,2，……)

　　　 上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整数解

 

 

代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

#define LL long long 
#define ULL unsigned long long 

LL s, k;

LL GCD( LL a, LL b );
void extended_euclid(LL a, LL b);

int main()
{
	LL x, y, m, n, l;
	LL a,b,c;
	while( cin>>x>>y>>m>>n>>l )
	{
		//(x+m*s)-(y+n*s)=k*l(k=0,1,2....)稍微变一下形得：(n-m)*s+k*l=x-y, 令n-m=a,l=b,x-y=c,即s*a+k*b=c
		a = n - m;
		b = l;
		c = x - y;

		LL gcd = GCD(a, b);

		if( c % gcd )
		{
			cout<<"Impossible"<<endl;
			continue;
		}

		a /= gcd;
		b /= gcd;
		c /= gcd;

		//求a*x0+b*y0=Gcd(a,b)的整数解，此时Gcd(a,b)=1,即a*x0+b*y0=1
		extended_euclid(a, b);

		//a*x0+b*y0=c求出来的解x0为a*x0+b*y0=1求出来的解x0'的c倍，所以下面要还原
		s *= c;
		k *= c;

		s = (s%b + b)%b;//s有可能为负数，所以此处将s变为正数

		cout<<s<<endl;
	}

	return 0;
}

LL GCD( LL a, LL b )
{
	if( b == 0 )
	{
		return a;
	}
	else
	{
		GCD( b, a%b );
	}
}

void extended_euclid(LL a, LL b)
{
	if( b == 0 )
	{
		s = 1;
		k = 0;
		return ;
	}
	LL temp;
	extended_euclid( b, a%b );
	temp = s;
	s = k;
	k = temp - a / b * k;
}