伽马贝塔函数

在数理方程、概率论等学科经常遇到以下的含参变量的积分

           ， 

它们依次为第一类和第二类欧拉（Euler 1707~1783 瑞士数学家）积分，或依次称为贝塔（Bata）函数和伽马（Gamma）函数，这一节主要讨论这两个函数的若干性质。

 11.3.1  伽马函数

显然，我们应首先考虑伽马函数

                                                   （3.1）

的收敛问题。式（3.1）右端的积分不仅是一个无穷积分，而且当时，还是被积函数的一个瑕点。为此我们把它拆成两个积分。

                    和 

注意到是以为瑕点的瑕积分，且注意到

                                

而在时是收敛的，所以也收敛（）。又因为，有                              

所以，，当时，有

                                 

这说明积分                      

对于都是收敛的，总之当，积分和同时收敛，所以积分

                                   

在收敛，从而伽马函数在有定义。

在任何上一致收敛。事实上，。

对，，而收敛，由判别法，关于在一致收敛。

对，，而收敛，由判别法，关于在一致收敛。

由的任意性及连续概念的局部性知，伽马函数在是连续的。

下面还可以进一步证明伽马函数的可微性，即当时各阶导数都存在，并且可由在积分号下求导得到，即

                                      （3.2）

事实上采用证明连续性时同样的方法，可证瑕积分

与无穷积分

关于在上一致收敛，这里且为任意正数。从而再由定理2.5和定理2.9推知式（3.2）成立。

当时，利用分部积分公式，有

       

即伽马函数有递推关系

                    （3.3）

反复运用式（3.3），得

                      （3.4）

公式（3.3）、（3.4）可用于逐步减小自变量的值，直到它不超过1；即伽马函数对任意的自变量值的计算，都可化为对的值的计算。

在式（3.4）中，取，并注意

                    

就得到

                                

这个式子说明伽马函数是阶乘的推广。这就是说，把本来只对自然数有意义的函数推广到对一切正数都有意义了。

 

11.3.2       贝塔函数

对于贝塔函数

                    （3.5）

采用上一小节同样方法，可证明在区域连续。

如果在式（3.5）的右端积分中作替换，我们有

        

即                                                      （3.6）

这说明贝塔函数关于具有对称性。

贝塔函数还有如下递推公式

                                    （3.7）

事实上，由分部积分

           

                          

                          

                          

                          

                          

移项解出，便得到所要证明的式（3.7）。

如果在式（3.5）中作替换，则得

                                         （3.8）

反复运用公式（3.7），有

                

                      

从而          

可见                          

从上式可看到贝塔函数与伽马函数之间的联系，但上述等式仅限于取非负的整数方能成立，限制公式的应用价值，我们当然希望把它能够推广到和 的整个定义范围内，这正是下一节讨论的内容。

 11.3.3  贝塔函数与伽马函数之间的联系

定理3.1  设，则

                                                （3.9）

证： 在积分

                          

中作代换，则有

所以                

                                              （3.10）

其中为正方形。作半径分别为和，圆心在原点的圆域和（图3.1），则由于式（3.10）中积分的被积函数为非负的，所以有

                          

但在积分 

中作极坐标替换，得

                    

                        

                                 （利用式（3.8））

                        

                                     （这里）

所以    

                                   

同理，可求

                            

从而根据式（3.11），有

                  

代入式（3.10），得

                

即                             

式（3.9）得证。

例 3.2 证明  

证： 由于                 

作替换，有

      

又当时，，当时，，所以

         

    例3.3  利用等式    证明 

证： 由贝塔函数与伽马函数的关系式（3.9）及例3.1，有

          

                         

                         

例 3.4  利用欧拉积分计算积分

                        

解： 令，有

，  ，  

  

并且当时；当时。从而

                    

                        =

                        =

                        =

                        =

                        =