初步了解树状数组

一、树状数组是干什么的？
     平常我们会遇到一些对数组进行维护查询的操作，比较常见的如，修改某点的值、
求某个区间的和，而这两种恰恰是树状数组的强项！当然，数据规模不大的时候，对于修改某点的值是非常容易的，复杂度是O(1)，但是对于求一个区间的和就要扫一遍了，复杂度是O(N)，如果实时的对数组进行M次修改或求和，最坏的情况下复杂度是O(M*N)，当规模增大后这是划不来的！而树状数组干同样的事复杂度却是O(M*lgN)，别小看这个lg，很大的数一lg就很小了。

二、树状数组的定义


如图所示，红色矩形表示的数组C[]就是树状数组。

给定序列（数列）A，我们设一个数组C满足
C1 = A1
C2 = A1 + A2
C3 = A3
C4 = A1 + A2 + A3 + A4
C5 = A5
C6 = A5 + A6
C7 = A7
C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8
……
C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16
......
定义:
   C[t] = A[t – 2^k + 1] + … + A[t]，k为t在二进制下末尾0的个数。(t>=1)

分析上面的几组式子可知，当 t 为奇数时，Ct=Ai ；当 t为偶数时，就要看 t的因子中最多有二的多少次幂，例如，6 的因子中有 2 的一次幂，等于 2 ，所以 C6=A5+A6（由六向前数两个数的和），4 的因子中有 2 的两次幂，等于 4 ，所以 C4=A1+A2+A3+A4（由四向前数四个数的和）。

三、基本操作
（1）C[t]展开以后有多少项？由下面公式计算：

int lowbit(int t){//计算c[t]展开的项数
   return t&(-t);
  }

例：
lowbit(1)=1   C1 = A1
lowbit(2)=2   C2 = A1 + A2
lowbit(3)=1   C3 = A3
lowbit(4)=4   C4 = A1 + A2 + A3 + A4
lowbit(5)=1   C5 = A5
lowbit(6)=2   C6 = A5 + A6
lowbit(7)=1   C7 = A7
lowbit(8)=8   C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8
.......
c[t]展开的项数就是lowbit(t),c[t]就是从a[t]开始往左连续求lowbit(t)个数的和，


 lowbit(1)=1       lowbit(2)=2       lowbit(3)=1      lowbit(4)=4
 lowbit(5)=1       lowbit(6)=2       lowbit(7)=1      lowbit(8)=8
 lowbit(9)=1      lowbit(10)=2      lowbit(11)=1      lowbit(12)=4
lowbit(13)=1      lowbit(14)=2      lowbit(15)=1      lowbit(16)=16
lowbit(17)=1      lowbit(18)=2      lowbit(19)=1      lowbit(20)=4
lowbit(21)=1      lowbit(22)=2      lowbit(23)=1      lowbit(24)=8
lowbit(25)=1      lowbit(26)=2      lowbit(27)=1      lowbit(28)=4
lowbit(29)=1      lowbit(30)=2      lowbit(31)=1      lowbit(32)=32
lowbit(33)=1      lowbit(34)=2      lowbit(35)=1      lowbit(36)=4
lowbit(37)=1      lowbit(38)=2      lowbit(39)=1      lowbit(40)=8
lowbit(41)=1      lowbit(42)=2      lowbit(43)=1      lowbit(44)=4
lowbit(45)=1      lowbit(46)=2      lowbit(47)=1      lowbit(48)=16
lowbit(49)=1      lowbit(50)=2      lowbit(51)=1      lowbit(52)=4
lowbit(53)=1      lowbit(54)=2      lowbit(55)=1      lowbit(56)=8
lowbit(57)=1      lowbit(58)=2      lowbit(59)=1      lowbit(60)=4
lowbit(61)=1      lowbit(62)=2      lowbit(63)=1      lowbit(64)=64

(2)修改
    当我们修改A[i]的值时，可以从C[i]往根节点一路上溯，调整这条路上的所有C[]即可，对于节点i，父节点下标 p=i+lowbit(i) 

代码实现：
//增加某个元素的大小,给某个节点 i 加上 x 
 update(int i,int x){ 
 while(i<=n){ 
    c[i]=c[i]+x; 
    i=i+lowbit(i); 
     } 
} 


(3)求数列的前n项和，只需找到n以前的所有最大子树，把其根节点的C加起来即可。


int Sum(int n) //求前n项的和.
{ 
    int sum=0; 
    while(n>0) 
    { 
         sum+=c[n]; 
         n=n-lowbit(n); 
    }     
    return sum; 
} 

例：
 public class TreeArray{
       int n;//数组元素个数
       int[] a;//原数组
       int[] c;//对应的树状数组

  public TreeArray(int[] a){
       n=a.length;
       this.a=a;
       c=new int[a.length];
       for(int i=1;i<a.length;i++){
           for(int j=0;j<lowbit(i);j++)
             c[i]=c[i]+a[i-j];
       }
  }


  private int lowbit(int t){//计算c[t]展开的项数
   return t&(-t);
  }
   
  private void update(int i,int x){ 
      while(i<=n){ 
        c[i]=c[i]+x; 
        i=i+lowbit(i); 
     } 
    } 

  private int Sum(int k){ //求前k项的和.
   int sum=0; 
    while(k>0){ 
       sum+=c[k]; 
       k=k-lowbit(k); 
    }     
    return sum; 
  } 

    public static void main(String args[]){
       int a[]={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};
       TreeArray ta=new TreeArray(a);
       System.out.println(ta.Sum(10));
        ta.update(5,-20);
       System.out.println(ta.Sum(10));
       System.out.println(ta.Sum(4));

    }
 }
    
运行：
C:\java>java   TreeArray
55
35
10