动态规划算法学习十例之七

一、最长公共子序列（LCS）问题：
   给定两个序列 X = {x1, x2, ......, xm } 和 Y = {y1, y2, ......, yn }，找出 X 和 Y 的最长公共子序列。

   一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干个元素后得到的序列。给定两个序列 X 和 Y ，当另一序列 Z 既是 X 的子序列又是 Y 的子序列时，称 Z 是序列 X 和 Y 的公共子序列。

例如，若 X = {A， B， C， B， D， A， B }，
             Y = {B， D， C， A， B， A }，
序列{B， C， A }是 X 和 Y 的一个公共子序列，序列{B， C， B， A }也是 X 和 Y 的一个公共子序列，且为最长公共子序列。

最长公共子序列问题具有最优子结构性质。
   设序列 X = {x1, x2, ......, xm } 和 Y = {y1, y2, ......, yn }的最长公共子序列为 Z = {z1, z2, ......, zk}
则（1） 若 xm = yn ，则 zk = xm = yn ，且 Zk-1 是 Xm-1 和 Yn-1 的最长公共子序列。
   （2） 若 xm != yn 且 zk != xm ，则 Z 是 Xm-1 和 Y 的最长公共子序列。
   （3） 若 xm != yn 且 zk != yn ，则 Z 是 X 和 Yn-1 的最长公共子序列。
其中:
Xm-1 = {x1, x2, ......, xm-1 }； Yn-1 = {y1, y2, ......, yn-1}； Zk-1 = {z1, z2, ......, zk-1}。

    引进一个二维数组C，用C[i,j]记录Xi与Yj的LCS的长度,如果我们是自底向上进行递推计算，那么在计算C[i,j]之前，
C[i-1,j-1], C[i-1,j]与C[i,j-1]均已计算出来。此时我们根据x[i]=y[j]还是x[i]≠y[j]，就可以计算出C[i,j]：

若x[i]=y[j]，则执行C[i,j]=C[i-1,j-1]+1；若x[i]≠y[j]，则根据：
C[i-1,j]≥C[i,j-1]，则C[i,j]取C[i-1,j]；否则C[i,j]取C[i,j-1]。

    为了构造出LCS，使用一个m×n的二维数组b，b[i,j]记录C[i,j]是通过哪一个子问题的值求得的,以决定搜索的方向：
若C[i-1,j]≥C[i,j-1]，则b[i,j]中记入“0”；
若C[i-1,j] < C[i,j-1]，则b[i,j]中记入“-1”；

import java.util.Stack;
import java.util.Random;
public class LCSProblem    
{   
   private char[] x;
   private char[] y;
   int b[][];
   int c[][];//C[i,j]记录Xi与Yj的LCS的长度

   public LCSProblem(String s1,String s2){
       x=new String(" "+s1).toCharArray();
       y=new String(" "+s2).toCharArray();
       b=new int[x.length][y.length];
       c=new int[x.length][y.length];
   }


    public static void main(String[] args)   
    {   
        //LCSProblem lcs=new LCSProblem("pjwrbilcerzypsedamgk","kqeddkogpazssnnr");
        LCSProblem lcs=new LCSProblem("programming","contest");
        System.out.println(lcs.getLength());   
           
        lcs.Display();   
       

    }   
       
    private int  getLength()   //计算c[i][j],从前往后计算
    {   
        
        for(int i=1; i< x.length; i++)   
        {   
            for(int j=1; j< y.length; j++)   
            {   
                if( x[i] == y[j])   
                {   
                    c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;   
                    b[i][j] = 1;   
                }   
                else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1])   
                {   
                    c[i][j] = c[i-1][j];   
                    b[i][j] = 0;   
                }   
                else  
                {   
                    c[i][j] = c[i][j-1];   
                    b[i][j] = -1;   
                }   
            }   
        }      
           
     return c[x.length-1][y.length-1];
    }   
       
    public  void Display(){//输出最长公共子序列
       int i = x.length-1, j = y.length-1;
       Stack< Character> sta=new Stack< Character>();
     
        while (i>=1&& j >=1){
            if (b[i][j]==1) {
                sta.push(x[i]);
                i--;
                j--;
            } else if (b[i][j]==0)
                i--;
            else
                j--;
        }
       while(!sta.empty())
        System.out.print(sta.pop()+" ");
    } 
   
 
}  

运行：
2
o n

二、例：
   回文词是一种对称的字符串。任意给定一个字符串，通过插入若干字符，都可以变成回文词。现在的任务是，求出将给定字符串变成回文词所需要插入的最少字符数。比如 “Ab3bd”插入2个字符后可以变成回文词“dAb3bAd”或“Adb3bdA”，但是插入少于2个的字符无法变成回文词。

[输入]:
第一行:字符串的长度N(3 <= N <= 5000)
第二行:需变成回文词的字符串
[输出]：
将给定字符串变成回文词所需要插入的最少字符数
[样例]:
Sample Input
5
Ab3bd

Sample Output
2

分析：
S和S' (注:S'是S的反串)的最长公共子串其实一定是回文的。这样我们就可以借助lcs来解决该题，即用s的长度减去lcs的值即可。

import java.io.BufferedReader;
import java.io.InputStreamReader;

public class Main {

 public static void main(String[] args) throws Exception{
	BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader (System.in));
	int total = Integer.parseInt(in.readLine());
	String string = in.readLine();
		System.out.println(total-LCS(string,new StringBuffer(string).reverse().toString()));
}

//返回两个string的lcs的长度
public static int LCS(String str1,String str2){
	short length1 = (short)str1.length();
	short length2 = (short)str2.length();
	short[][]result = new short [length1+1][length2+1];
	for(int i=0;i< length1;i++){
		result[i][0] = 0;
	}
	for(int i=0;i< length2;i++){
		result[0][i] = 0;
	}
	for(int i=1;i<=length1;i++){
      for(int j=1;j<=length2;j++){
		if(str1.charAt(i-1)==str2.charAt(j-1))
		 result[i][j] = (short)(result[i-1][j-1]+1);
		else
         result[i][j] = result[i-1][j]>result[i][j-1]?result[i-1][j]:result[i][j-1];
		}
	}
	return result[length1][length2];
 }
	

}

下载源码：