动态规划算法学习十例之五

1、最优二叉搜索树的动态规则算法

二叉搜索树是一颗满足如下条件的树：
1.每个节点包含一个键值
2.每个节点有最多两个孩子
3.对于任意两个节点x和y，它们满足下述搜索性质:
a)如果y在x 的左子树里，则key[y] <=key[x]
b)如果y在x的右子树里，则key[y]>=key[x]

　　基于统计知识，我们可统计出一个数表（集合）中各元素的查找概率，理解为集合各元素的出现频率。比如中文输入法字库中各词条（单字、词组等）的先验概率，针对用户习惯可以自动调整词频——所谓动态调频、高频先现原则，以减少用户翻查次数。这就是最优二叉查找树问题：查找过程中键值比较次数最少，或者说希望用最少的键值比较次数找到每个关键码（键值）。为解决这样的问题，显然需要对集合的每个元素赋予一个特殊属性——查找概率。这样我们就需要构造一颗最优二叉查找树。

2、问题给出
　　n个键{a1,a2,a3......an},a1 < a2 <· · · < an，其相应的查找概率为{p1,p2,p3......pn}。构成最优BST, ，求这棵树的平均查找次数C[1, n]（耗费最低)。换言之，如何构造这棵最优BST，使得C[1, n] 最小。
C[i, j] 表示由{ai,ai+1,......aj}构成的BST的耗费.

对于键值ai, 如果其在构造的二叉搜索树里的深度（离开树根的分支数）为L(ai)，
则搜索该键值的成本= L(ai) +1（需要加上深度为0的树根节点）。

3、分段方法

　动态规划法策略是将问题分成多个阶段，逐段推进计算，后继实例解由其直接前趋实例解计算得到。对于最优BST问题，利用减一技术和最优性原则，如果前n-1个节点构成最优BST，加入一个节点an 后要求构成规模n的最优BST。按 n-1, n-2 , ... , 2, 1 递归，问题可解。自底向上计算：C[1, 2]→C[1, 3] →... →C[1, n]。为不失一般性用
C[i, j] 表示由{ai,ai+1,......aj}构成的BST的耗费。其中1≤i ≤j ≤n。这棵树表示为Tij。从中选择一个键ak作根节点，它的左子树为Tik-1，右子树为Tk+1j。要求选择的k 使得整棵树的平均查找次数C[i, j]最小。左右子树递归执行此过程。（根的生成过程）

4、递推计算式


5、基本算法如下


6、具体实现代码

import java.util.Scanner;
import java.util.Arrays;
 public class BST{
   static int max=Integer.MAX_VALUE;
   public static  void main(String args[]){
      int num;
      Scanner in=new Scanner(System.in);
     
     //所有数据均从键盘获取，第一行一个数据表示节点个数；从第二行各个数据开始表示各个节点的概率
     /*
      5
      0.15 0.10 0.05 0.10 0.20
     */

      /*
       6
       0.3 0.15 0.05 0.3 0.15 0.05
      */
       num=in.nextInt();
       double p[]=new double[num+1];
       for(int i=1;i<num+1;i++)
         p[i]=in.nextDouble();

      //创建主表；
       double c[][]=new double[num+2][num+1];
         for(int i=0;i<c[i].length;i++)
           Arrays.fill(c[i],0);
      //创建根节点表；
       int r[][]=new int[num+2][num+1];
            for(int i=0;i<r[i].length;i++)
           Arrays.fill(r[i],0);
     //动态规划实现最优二叉查找树的期望代价求解。。
      OptimalBST(num,p,c,r);
      System.out.printf("该最优二叉查找树的期望代价为：%f \n",c[1][num]);
     
    
      //给出最优二叉查找树的中序遍历结果；
      System.out.printf("构造成的最优二叉查找树的前序遍历结果为：");
     OptimalBSTPrint(1,num,r);
 
   }
  
   public static void OptimalBST(int num,double[] p,double[][]c,int[][] r) {
     int j=0;
     int kmin=0;
     double temp=0.0;
     double sum=0.0;
     for(int i=1;i<num+1;i++)//主表和根表元素的初始化
     {
     
         c[i][i-1]=0;
         c[i][i]=p[i];
         r[i][i]=i;
     }
     c[num+1][num]=0;
     for(int d=1;d<=num-1;d++)//加入节点序列
     {
         for(int i=1;i<=num-d;i++)
         {
             j=i+d;
             temp=max;
             for(int k=i;k<=j;k++)//找最优根
             {
                 if(c[i][k-1]+c[k+1][j]<temp)
                 {
                     temp=c[i][k-1]+c[k+1][j];
                     kmin=k;
                 }
             }
             r[i][j]=kmin;//记录最优根
             sum=p[i];
             for(int s=i+1;s<=j;s++)
                 sum+=p[s];
             c[i][j]=temp+sum;
         }
     }
 }


 //采用递归方式实现最优根的输出，最优根都是保存在r[i][j]中的。。。
 public static  void OptimalBSTPrint(int first,int last,int[][] r)
 {
 
     int k;
     if(first<=last)
     {
         k=r[first][last];
         System.out.printf("%d  ",k);
         OptimalBSTPrint(first,k-1,r);
         OptimalBSTPrint(k+1,last,r);
     }
 }
}

运行结果：
5
0.15 0.10 0.05 0.10 0.20
该最优二叉查找树的期望代价为：1.300000
构造成的最优二叉查找树的前序遍历结果为：4  1  2  3  5



下载源码：