迭代算法

利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：
　　一、确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
　　二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系)。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方

法来完成。
　　三、对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程?这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来;另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制;对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。


示例1：斐波那契数列的非递归实现：
斐波那契数列是从第0项和第1项开始，之后的项等于其前面相邻两项之和。
F(n)=F(n-1)+F(n-2),F(0)=0,F(1)=1。

int Fibs(int n) {   
   if(n < 0) {   
    throw new IllegalArgumentException(" the parameter is valid!");   
    }   
    int n1 = 0;//F(n-2)，迭代变量
    int n2 = 1;//F(n-1)，迭代变量
    int r = n1;//F(n)   
    if(n == 1) {   
        r = n2;   
    }   
    for (int i = 2; i <= n; i++) {   //用循环控制迭代过程
       //迭代关系式
        r = n1 + n2 ;//F(n)=F(n-1)+F(n-2)   
        n1 = n2;   
        n2 = r;   
    }   
    return r;   
}  


示例2：牛顿迭代法求平方根（Newton's Method）。 
  
/**  
* 求平方根  
* @param d 待开方数  
* @param precision 算术平方根的精度  
* @return  
*/  
double sqrt(double d,double precision) {   
    double x1 = d/2, x2 =(x1 + d/x1)/2;   
    while(Math.abs(x2 -x1)>precision) {   
        x1 = x2;   
        x2 =(x1 + d/x1)/2;   
    }   
    return x1;   
}  

示例3：辗转相除法求最大公约数
long gcd(long x,long y) {   
    if(x < y) {   
        long m = x;   
        x = y;//x存储较大的一个数   
        y = m;   
    }   
    long k = 0;   
    while(y != 0) {   
        k = x%y;   
        x = y;   
        y = k;   
    }   
    return  x;   
}  

示例4：迭代法解方程
　　迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式x=g(x)，然后按以下步骤执行：
　　(1) 选一个方程的近似根，赋给变量x0;
　　(2) 将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0;
　　(3) 当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤(2)的计算。
　　若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。

【算法】迭代法求方程的根

{  
  x0=初始近似根； 
  do { 
    x1=x0； 
    x0=g(x1)；   /*按特定的方程计算新的近似根*/ 
    } while ( Math.abs(x0-x1)>精度)； 
  System.out.printf(“方程的近似根是%f\n”，x0)； 
} 
例1：解方程：x*x*x-x-1=0

public class Test2{
 
  public static double f(double x){
   double y;
   y=x*x*x-x-1;   //计算
   return(y);
 }
  public static void main(String args[]){
   double x0=1.5,x1=1.5;
   do{
    x1=x0;
    x0=Math.pow((1+x1),1/3.0);
   }while(Math.abs(x0-x1)>1e-7);
   System.out.println(f(x0));
   System.out.printf("方程的近似根是%f\n",x0); 
   }
}

示例5：使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根
f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+…
若上面方程有根x,使得f(x)=0,取前两项得x=x0-f(x0)/f'(x0)
迭代关系式:

例：求方程f(x) = cos(x)-x^3的根.
f'(x) =-sin(x)-3x^2
方程的根位于0和1之间,x0=0.5

import static java.lang.Math.*;
public class Test1{
 
  public static double f(double x){
   double y;
   y=x-(cos(x)-pow(x,3))/(-sin(x)-3*pow(x,2));   //计算
   return(y);
 }
  public static void main(String args[]){
   double x0=0.5;
   double x1=x0;
   do{
    x1=x0;
    x0=f(x1);
   }while(Math.abs(x0-x1)>1e-7);
    
   System.out.printf("方程的近似根是%f\n",x0); 
   System.out.printf("cos(x)-x^3="+(cos(x0)-pow(x0,3)));
   }
}