母函数

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数学与计算

1、幂级数

在数学中，幂级数是一类形式简单而应用广泛的函数级数，变量可以是一个或多个（见“多元幂级数”一节）。单变量的幂级数形式为：

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n$

$= a_0 + a_1 (x-c)^1 + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots$

其中的c和 $a_0 ,a_1 ,a_2 \cdots a_n \cdots$ 是常数。 $a_0 ,a_1 ,a_2 \cdots a_n \cdots$ 称为幂级数的系数。幂级数中的每一项都是一个幂函数，幂次为非负整数。幂级数的形式很像多项式，在很多方面有类似的性质，可以被看成是“无穷次的多项式”。

如果把 $(x-c)$ 看成一项，那么幂级数可以化简为 $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ 的形式。后者被称为幂级数的标准形式。一个标准形式的幂级数完全由它的系数来决定。

将一个函数写成幂级数 $\sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n$ 的形式称为将函数在c处展开成幂级数。不是每个函数都可以展开成幂级数。

幂级数是分析学研究的重点之一，然而在组合数学中，幂级数也占有一席之地。作为母函数，由幂级数概念发展出来的形式幂级数是许多组合恒等式的来源^[1]。在电力工程学中，幂级数则被称为Z-变换。实数的小数记法也可以被看做幂级数的一种，只不过这里的x被固定为 $\frac{1}{10}$ 。在p-进数中则可以见到x被固定为 $10$ 的幂级数。

多项式可以看做系数从某一项开始全是零的幂级数，例如多项式 $f(x) = x^2 + 2x + 3$ 可以写成标准形式的幂级数：

$f(x) = 3 + 2 x + 1 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + \cdots$

也可以写成（ $c=1$ ）：

$f(x) = 6 + 4 (x-1) + 1(x-1)^2 + 0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \cdots$

实际上，多项式可以写成在任意c附近展开的幂级数。就这个意义上说，幂级数是多项式的推广。

等比级数的公式给出了对 $|x|<1$ ，有

$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$ ，

是幂级数中基本而又重要的一类。同样重要的还有指数的幂级数展开：

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,$

以及正弦函数（对所有实数x 成立）：

$\sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+\cdots,$

这些幂级数都属于泰勒级数。

幂级数里不包括负的幂次。例如 $1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots$ 就不是幂级数（它是一个劳伦级数）。同样的，幂次为分数的级数也不是幂级数。系数 $a_n$ 必须是和x无关，比如 $\sin(x) x + \sin(2x) x^2 + \sin(3x) x^3 + \cdots \,$ 就不是一个幂级数。

2、母函数

在数学中，某个序列 $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ 的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。

母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。

母函数的表示一般使用解析形式，即写成关于某个形式变量x的形式幂级数。对幂级数的收敛半径中的某一点，可以求母函数在这一点的级数和。但无论如何，由于母函数是形式幂级数的一种，其级数和不一定对每个x的值都存在。

母函数方法不仅在概率论的计算中有重要地位，而且已成为组合数学中一种重要方法。此外，母函数在有限差分计算、特殊函数论等数学领域中都有着广泛的应用。

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matlab-神经网络-线性网络(2) | 雅可比

2012-07-31 10:50
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