关联规则挖掘-Apriori算法

关联规则的目的在于在一个数据集中找出项之间的关系，也称之为购物蓝分析 (market basket analysis)。例如，购买鞋的顾客，有10%的可能也会买袜子，60%的买面包的顾客，也会买牛奶。这其中最有名的例子就是"尿布和啤酒"的故事了。

关联规则的应用场合。在商业销售上，关联规则可用于交叉销售，以得到更大的收入；在保险业务方面，如果出现了不常见的索赔要求组合，则可能为欺诈，需要作进一步的调查。在医疗方面，可找出可能的治疗组合；在银行方面，对顾客进行分析，可以推荐感兴趣的服务等等。

Apriori algorithm是关联规则里一项基本算法。由Rakesh Agrawal 在 1994 年提出的，详细的介绍请猛击这里《Fast Algorithms for Mining Association Rules 》。

首先我们来看，什么是规则？规则形如"如果…那么…(If…Then…)",前者为条件，后者为结果。例如一个顾客，如果买了可乐，那么他也会购买果汁。

如何来度量一个规则是否够好？有两个量，置信度(Confidence)和支持度(Support)。假设有如下表的购买记录。

顾客	项目
1	orange juice, coke
2	milk, orange juice, window cleaner
3	orange juice, detergent
4	orange juice, detergent, coke
5	window cleaner

将上表整理一下，得到如下的一个2维表

	Orange	Win Cl	Milk	Coke	Detergent
Orange	4	1	1	2	2
WinCl	1	2	1	0	0
Milk	1	1	1	0	0
Coke	2	0	0	2	1
Detergent	1	0	0	0	2

上表中横栏和纵栏的数字表示同时购买这两种商品的交易条数。如购买有Orange的交易数为4，而同时购买Orange和Coke的交易数为2。

置信度表示了这条规则有多大程度上值得可信。设条件的项的集合为A,结果的集合为B。置信度计算在A中，同时也含有B的概率。即 Confidence(A==>B)=P(B|A)。例 如计算"如果Orange则Coke"的置信度。由于在含有Orange的4条交易中，仅有2条交易含有Coke.其置信度为0.5。

支持度计算在所有的交易集中，既有A又有B的概率。例如在5条记录中，既有Orange又有Coke的记录有2条。则此条规则的支持度为 2/5=0.4。现在这条规则可表述为，如果一个顾客购买了Orange,则有50%的可能购买Coke。而这样的情况（即买了Orange会再买 Coke）会有40%的可能发生。

再来考虑下述情况。

项	支持度
A	0.45
B	0.42
C	0.4
A and B	0.25
A and C	0.2
B and C	0.15
A,B，and C	0.05

可得到下述规则

规则	置信度
If B and C then A	0.05/0.15*100%=33.33%
If A and C then B	0.05/0.20*100%=25%
If A and B then C	0.05/0.25*100%=20%

上述的三条规则，哪一条规则有用呢？

对于规则" If B and C then A"，同时购买B和C的人中，有33.33%会购买A。而单项A的支持度有0.45，也就是说在所有交易中，会有45%的人购买A.看来使用这条规则来进行推荐，还不如不推荐，随机对顾客进荐好了。

为此引入另外一个量，即提升度(Lift)，以度量此规则是否可用。描述的是相对于不用规则，使用规则可以提高多少。有用的规则的提升度大 于1。计算方式为Lift(A==>B)=Confidence(A==>B)/Support(B)=Support(A==>B) /(Support(A)*Support(B))。在上例中，Lift(If B and C The A)=0.05/(0.15*0.45)=0.74。而Lift(If A then B)=0.25/(0.45*0.42)=1.32。也就是说对买了A的人进行推荐B,购买概率是随机推荐B的1.32倍。

如何产生规则呢。可以分两步走。

首先找出频繁集(frequent itemset)。所谓频繁集指满足最小支持度或置信度的集合。其次从频繁集中找出强规则(strong rules)。强规则指既满足最小支持度又满足最小置信度的规则。

我们来看如何产生频繁集。

这其中有一个定理。即频繁集的子集也一定是频繁集。比如，如果{A,B,C}是一个3项的频繁集，则其子集{A,B},{B,C},{A,C}也一定是2项的频繁集。为方便，可以把含有k项的集合称之为k-itemsets.

下面以迭代的方式 找出频繁集。首先找出1-itemsets的频繁集，然后使用这个1-itemsets，进行组合，找出2-itemsets的频繁集。如此下去，直到不 再满足最小支持度或置信度的条件为止。这其中重要的两步骤分别是连接(join)和剪枝(prune).即从(k-1)-itemsets中的项进行组 合，产生备选集(Candidate itemsets)。再从备选集中，将不符合最小支持度或置信度的项删去。例如

Frequent 2-itemsets		Candidate 3-itemsets		Frqquent 3-itemsets
I1,I2	==>	I1,I2,I4	==>	I1,I2,I4
I1,I4		I2,I3,I4
I2,I3
I2,I4

下面我们再来看一个详细的例子。

设最小支持度为2，以C_k 表示k-itemsets备选集,以L_k 表示k-itemsets频繁集。

ID	Items		Itemset	Sup. count		Itemset		Itemset
100	I1,I2,I5		I1	6		I1		I1,I2
200	I2,I4	==>C1:	I2	7	==>L1:	I2	==>C2	I1,I3
300	I2,I3		I3	6		I3		I1,I4
400	I1,I2,I4		I4	2		I4		I1,I5
500	I1,I3		I5	2		I5		I2,I3
600	I2,I3							I2,I4
700	I1,I3							I2,I5
800	I1,I2,I3,I5							I3,I4
900	I1,I2,I3							I3,I5
								I4,I5

对C₂ 进行扫描，计算支持度。

Itemset	Sup. count		Itemset		Itemset	Sup. count		Itemset
I1,I2	4	==> L2:	I1,I2	==> C3	I1,I2,I3	2	==> L3:	I1,I2,I3
I1,I3	4		I1,I3		I1,I2,I5	2		I1,I2,I5
I1,I4	1		I1,I5
I1,I5	2		I2,I3
I2,I3	4		I2,I4
I2,I4	2		I2,I5
I2,I5	2
I3,I4	0
I3,I5	1
I4,I5	0

对 于频繁集中的每一项k-itemset,可以产生非空子集，对每一个子集，可以得到满足最小置信度的规则了。例如考虑{I1,I2,I5}。其子集有 {I1,I2}, {I1,I5}, {I2,I5}, {I1}, {I2}, {I5}。可以产生规则，{I1,I2} => {I5} (50%), {I1,I5} => {I2} (100%), {I2,I5} =>{I1} (100%),{I1} => {I2,I5} (33%), {I2} =>{I1,I5} (29%), {I5} =>{I1,I2} (100%)。

也 不是每个数据集都有产生强规则。例如"Thinkpad notebook" 和"Canon printer"一起可能很难产生有效规则。因为恰好一起买这两个牌子的产品的顾客太少。但不妨将Thinkpad notebook放到Notebook这一层次上考虑，而Canon printer放到printer这一去层次上考虑。这样的话，一起买notebook和printer的顾客就较多了。也即Multilevel association rules。