线性代数（一）方程组的几何解释

这一讲主要分析当存在一个方程组时，用线性的方法表示（就是画出直线或者平面）和用向量的方法表示。

首先来看下面这个两个方程组

2x - y   = 0

-x + 2y = 3

将其进行一些变化，变成矩阵与向量的形式，如下：

 以上就成为了一个线性方程组，即AX = b，也就是矩阵A乘以向量X得到一个新的向量b ;

我们的目标就是求出这里未知的向量X，接下来我们画出“行图形”： 

以上的坐标系图形我们早就知道了（初中数学，应该是吧），所谓的“线性”就是能将方程以直线的方式画出，在图像上我们可以看到两线交与（1，2）点，这也就是以上方程组的解，这就被称为方程的“行图形” ;

现在我们来看方程的“列图形”，这个非常重要，也就线性代数的研究问题的关键所在，还是将

最开始的方程组进行变形，如下：

来看上面的式子，在该式子中之前的矩阵A被拆分为了两列， 那么该如何理解其含义呢？

这样看，A矩阵被拆分成的两列分别是两个向量，未知数X乘以左侧的向量+未知数Y乘以右侧的向量=新的向量b，我们要做的就是找到正确的未知数X和Y，以满足以上正确的线性组合，这也是贯穿整个线性代数研究的问题；

以上只是“列图形”的代数形式，现在来进行做图首先是画出矩阵A拆分出的两个向量：

这时未知数X和Y在之前的“行图形“中已经求出，尝试着将其套入式子以改变两个向量，最后进行两向量的

加法：

向量col1不需要进行变化，col2要乘以2，两向量相加后得到新的向量b ;

现在思考一个问题，如果将未知数换回成代表任意数字的Ｘ和Ｙ，那得出的新向量ｂ是否会覆盖整个坐标系？这个问题会反复的贯穿这个线性代数的学习过程．

 

现在来思考3个未知数、方程数量也是3的方程组：

2X - y         = 0

-x + 2y - Z  = -1

    -3y + 4Z = 4

进行一些变化，写出矩阵和向量：

 

接下来还是作图，不过我没法画出来（太消耗时间了，我也画的不是很好），但是我们可以想象这个图像，

首先是一个三维的坐标系，方程组的每一个方程都是一个平面，两个方程的平面相交得出一条线，三个平面

相交得出一个点，这个点就是该方程组的解。

现在写出方程组的列图形，以下是代数表示，A矩阵分裂出的3个向量在未知数XYZ的作用下形成了新的向量

现在问题又来了，要尝试画出以上式子的几何解释

还是由于作图的难度，只能靠自己想象这图形了，首先是个3维的坐标系，3个向量都从原点发出，

然后进过未知数的作用最后得到了向量b

思考这个问题”对于任意b，是否都能求解Ax=b?“也就是说”列的线性组合是否能覆盖整个三维空间？”

上面的方程组就是这样，取三个列向量的线性组合，试图得到b

现在回答这个问题，如果3个向量有2个在同一平面，则b向量在某一平面时，就无法通过这3个向量组合得出了。假设向量具有9个分量9个方程9个未知数，这样就有9列，每一列都是9维空间的向量，现在我们来考虑着9个向量的线性组合，还是之前的那个问题“是否总能得到任意的b？“

对于随机的列向量这个当然是没问题的，但是思考这样的一种情况，如果选择一些互相不独立的列向量，比如9列中有2列在一个"平面"（这样用词不太合适）内，或者9列碰巧等于8列（有两个重合了），那么这个时候这9列向量只能覆盖8维空间（这个说起来感觉怪怪的）

 

现在总结一下

方程组的矩阵形式

AX=b（矩阵A乘以向量X=向量b）这个就是方程组的矩阵形式;

矩阵和向量如何相乘？

首先构造一个矩阵，再构造一个向量

现在讲讲两者如何进行相乘，

首先谈第一种方法

取分量1与第一列相乘、分量2与第二列相乘，然后相加

第一种方法是将运算看成矩阵各列的线性组合，矩阵乘以向量 ;
 

现在来看第二种方法，特点是一次取一行，也就是点乘

(2 x 1) + (5 x 2) = 12

(1 x 1) + (3 x 2) = 7

 

第一种更加容易理解，我本人倾向第一方法 .

下一讲将系统的讲解用”消元法来求解方程组“