线性代数（二）矩阵消元

这一讲涉及的东西并不包括“行列式”（几乎所有的大学一上来都是先讲行列式吧），下面主要讨论的是“消元法”

（所有计算机程序用到的也都是这样的方法）

 消元法的核心是“矩阵变化”

只要矩阵是个“好矩阵”那么“消元法”就应该能奏效，当然我们就会涉及到什么情况矩阵是个“好矩阵”

这一讲将会用矩阵的概念描绘”消元法“，同时也会讨论矩阵的运算也就是矩阵的乘法 ；

先来看一个方程以及矩阵：
 

上面是3个方程、3个未知数，AX等于右侧向量（2,12,2），我们先将等号左边的部分变化成矩阵：

现在来谈谈什么是消元，比如我们要干掉第二个方程的X，应该怎么做？

可以这样做，将第一行乘以某个数，而后用第二行去减，第二行的Ｘ就被消去了，那么我们来试试

首先第一行的第一个数（这里是１）是消元的关键，被称为主元

 第一行不做任何变化，因为它是主元行，照写就可以了，现在考虑第二行，如何消去Ｘ，

我们是这样做的，用３乘以第一行，然后用第二行去减第一行，则第二行的X就消去了，

之后写出第二行剩余的数字，这里第3行还没有涉及，照写就可以了，同时第一行记住是不变的。

新的结果：

 （进行到这里，是否有人会问“等号右边的那一堆东西去哪里了？“，这个现在不用着急，一会再去处理）

继续上面的问题，接下来应该考虑将第三行第一个数字变成0，不过这个已经是个0了，所以就不用再处理了

现在考虑主元二（什么是主元？主元是每一行第一个不为0的数字），第二行的第二个数字是主元二，也就是

2，那么我们要消去的数字是多少呢？要消除的数字是第三行第二个数字，也就是4，如何消除？第二行乘以2，而后第三行减去第二行，则可以消去4，那么我们写出最新的结果

 以上是3个主元，也是最新的结果，这是个新的矩阵，用U表示，那么以上所进行的消元

就是为了从矩阵A得到矩阵U（这是计算可以最普片的计算）

这里要明确，主元是不能为0的！

 

现在来讨论一个问题，什么时候消元法对于矩阵会失效？也就是说什么样的矩阵，用消元法就不灵了？

失效有几种情况：

1：如果第一行的第一个数字就为0，那么就麻烦了，没法继续了，怎么办？其实只要将其他的行交换个位置就可以了。

2：再比如把第二行第二个数字换成6，也就麻烦了，因为这样一减主元又变成0了，怎么办？继续换行

3：但是如果第三行第三个数字变成了-4，那问题就大了，因为没办法再换行了，这个用消元法就失效了

（这种情况我们会是矩阵是不可逆的）
 以上说明行交换可以解决主元为0的”暂时性失效“，但当底下的行中再也没有非0元素时，消元法就彻底失效了。 

 

现在我们来讨论下一个主题”回代“，这就需要将方程组等号右边的数考虑进来了，看下图

 最终的方程为：

x + 2y + z = 2

    2y - 2z = 6

        5z = -10

也就是Ux=c

那么接下来就是开始代入，首先z = -2，然后代入第二个方程，得到y = 1，最后代入方程一，得到x = 2

到这里，本讲的第一部分就结束了。

 

什么？还有第二部分？的确，将会引入矩阵，现在要用矩阵来描述这些变换，这就引入”消元矩阵“的概念

在上一讲中，我们谈到了矩阵与列向量的乘法，现在来明确另一个概念”矩阵与行向量的乘法“：

这要用向量的方式去思考，这其实是向量和行的线性组合。

那么继续回答到之前的问题，现在我们需要一个矩阵，这个矩阵乘以已知矩阵，已知矩阵就会像之前所描述的那样”第二行减去第一行乘以3“后形成的矩阵

这时要根据”矩阵与行向量“的运算法则来思考，这时我们得出：

 这就是那个矩阵，它的目的是使得第二行的第一个元素3变成了0，这个矩阵也被称之为E

（被称为初等矩阵或者消元矩阵的首字母，也就是E和）

现在我们要解决的，要把它想办法消掉，下图就是表示这个问题：

 还是用同样的方法，得到：

 到此消元结束了，我们要将这些步骤综合起来：

 下面再讲一些矩阵乘法的重要性质，将上面的等式变形，写成这样：

也就是说两个初等矩阵相乘再乘以A就可以得到结果了，矩阵可以应用结合律，但是不能应用交换律。

矩阵乘法的相乘顺序是不能改变的，矩阵A乘以矩阵B不等于矩阵B乘以矩阵A。

 

逆矩阵引言，现在思考的不是A如何变成U，而是U如何变成A.
 下面将进行讨论”行逆变换“，

这里先记住下面的变形即可（思考这样的问题，之前总说的是，比如第一行乘以某个数，然后第二行在减去第一行，现在反着思考这个问题，第二行加上第一行）