并查集

并查集是一种比较有用的数据结构，主要是用于解决将一些元素合并和查找元素在某个集合的操作，即union操作和findSet操作。
其中，利用有根树实现并查集的方法是普遍使用的方法，也是效率最优的方法。
在并查集一开始时，每个元素做为一个单独的集合，即每个都是只含有一个根的子树。
在合并的时候，主要是采用按秩合并。在开始时，每个元素的秩为0，随着合并秩发生变化。
其中包括makeSet方法，即初始化集合的方法。我们用p[i]表示元素i所属的集合的祖先（即此集合的标识），用rank[i]表示元素i的秩。

//初始化并查集 
void makeset(int i)
{
     p[i]=i;
}

接着就是合并操作：

//合并i和j 
void union1(int i,int j)
{
     link(findSet(i),findSet(j));
}

合并的方法，调用了link方法，link方法主要是根据元素的秩修改元素的集合标识，从而使得元素合并。

//合并工作 
void link(int i,int j)
{
     if(rank[i]>rank[j])
     {
          p[i]=p[j]; 
     }
     else
     {
          p[j]=p[i];
          if(i==j)
          {
              rank[j]=rank[j]+1; 
          } 
     }
}

可以看到传给link方法的参数是findSet，这是什么方法呢？其实就是寻找元素i的祖先的方法，最终传给link合并的，其实是元素的祖先。故合并其实是祖先合并。
不过，判断元素属于哪个集合，只需用findSet找到它的祖先即可，元素即与其祖先在同一个集合中。
完整的代码如下：

#include<iostream>
#define NMAX 101
using namespace std;
int p[NMAX],rank[NMAX];
//初始化
void init()
{
    int i=1;
    for(;i<=NMAX-1;i++)
    {
        p[i]=-1;
        rank[i]=0; 
    } 
} 
//初始化并查集 
void makeset(int i)
{
     p[i]=i;
}
//合并工作 
void link(int i,int j)
{
     if(rank[i]>rank[j])
     {
          p[i]=p[j]; 
     }
     else
     {
          p[j]=p[i];
          if(i==j)
          {
              rank[j]=rank[j]+1; 
          } 
     }
}
//找i的祖先,即集合的代表 
int findSet(int i)
{
     if(i!=p[i])
     {
         p[i]=findSet(p[i]); 
     } 
     return p[i];
}
//合并i和j 
void union1(int i,int j)
{
     link(findSet(i),findSet(j));
}
int main()
{
  int k;
  init();
  for(k=1;k<=10;k++)
  {
     makeset(k); 
  } 
  //<1,2>
  union1(1,2);
  //<3,4>
  union1(3,4);
  //<2,3>
  union1(2,3);
  //<6,7>
  union1(6,7);
  //<5,8>
  union1(5,8);
  //<9,10>
  union1(9,10);
  //<8,9> 
  union1(8,9);
  
  for(k=1;k<=10;k++)
  {
       printf("%d的集合为%d\n",k,findSet(k)); 
  }
  
  system("pause");
  return 0; 
}

最终的输出为：
1的集合为1
2的集合为1
3的集合为1
4的集合为1
5的集合为5
6的集合为6
7的集合为6
8的集合为5
9的集合为5
10的集合为5